lunes, 19 de noviembre de 2007

1: Problemas resueltos




Problema: Escribir un conteo normal de 20 objetos usando el sistema numérico base 4.


Problema: ¿A cuánto equivale el número 13 decimal en sistema numérico base 6?


El número 13 en sistema decimal equivale al número 21 en sistema base 6. Simbólicamente:

1310 = 216

Problema: Convertir el número 20 al sistema base 4 usando el método de división sucesiva.

Aplicando el método de la división sucesiva, tenemos lo siguiente:


La equivalencia del número decimal 20 a su correspondiente 1104 en el sistema base 4 se puede representar de la siguiente manera:

2010 = 1104

Obsérvese cómo para convertir el número 20 decimal al número 110 en sistema base 4, dividimos primero el número (20) entre la base (4) destacando el primer residuo (0). El cociente de la primera división (5) se vuelve a dividir entre la base (4) agregando agregando el residuo de la segunda división (1) al residuo de la primera (0) para ir formando el número. Puesto que el segundo cociente (1) ya no se puede dividir entre 4, con el segundo cociente (1), el segundo residuo (1) y el primer residuo (0) formamos el número 110 en el sistema numérico base 4.

Problema: Convertir el número 19 al sistema base 2 usando el método de la división sucesiva.

Procedemos del mismo modo que en el problema anterior:




Simbólicamente, podemos expresar el resultado de la manera siguiente:

1910 = 100112

Problema: Convertir el número 49 al sistema base 3 usando el método de la división sucesiva y comprobar el resultado haciendo una tabla.



Simbólicamente, podemos expresar el resultado de la manera siguiente:

4910 = 12113

La tabla completa de equivalencias hasta llegar al número deseado, en la cual se ha destacado en color ciano la numeración ascendente en sistema decimal, es la siguiente:




Obviamente, resulta mucho más cómodo inclusive para números medianamente pequeños recurrir al método de la división sucesiva que tratar de llegar a un equivalente en otra base numérica mediante la construcción de una tabla.

PROBLEMA: Transformanndo los números decimales 13 y 25 en sus equivalente binarios, sumar dichos números tanto en el sistema decimal como en el sistema binario, poniendo ambas resoluciones la una junto a la otra con el fin de comparar las similitude. Tras esto, conviértase la respuesta binaria a su equivalente decimal usando la tabla de potencias de 2 con el fin de checar la respuesta obtenida de la adición binaria.

Primero se llevará a cabo la "descomposición" de los números 13 y 25 en sus equivalentes en el sistema base 2:





A continuación, se llevará a cabo la suma de los números decimales 13 y 25, junto con la suma binaria de los números 1101 y 11001:




En la suma decimal, para sumar 25 y 13 en la forma en la que estamos acostumbrados, acumulando la respuesta de derecha a izquierda, primero decimos "5 más 3 es igual a 8". En este caso, como la suma parcial no excede de 10, no "llevamos" una unidad para ser sumada a las decenas. El siguiente dígito lo obtenemos diciendo "2 más 1 es igual a 3". Con esto, tenemos el resultado mostrado arriba, que es 38. Veamos ahora cómo se llevó a cabo la suma binaria. Para llevar a cabo la suma binaria, procedemos exactamente de la misma manera, empezando de izquierda a derecha decimos "uno más uno es igual a 10" (recuérdese que en el sistema binario, no existe un símbolo para representar el número 2). Anotamos el cero abajo (puesto en color amarillo) y decimos "anotamos cero y llevamos uno". En la siguiente columna de dígitos, procediendo de izquierda a derecha al igual que como lo hacemos en el sistema decimal, decimos "cero más cero es igual a cero, más el uno que llevábamos es igual a uno". Anotamos este uno a la izquierda del cero que habíamos escrito antes, con lo cual tenemos ya un resultado cumulativo de "10" en color amarillo, procediendo a la siguiente columna de dígitos en donde decimos: "cero más uno es igual a uno, y como no traíamos nada de la adición anterior, anotamos éste uno". Tenemos ya una respuesta cumulativa de "110". Nos vamos a la siguiente columna de dígitos en donde decimos: "uno más uno es igual a 10, y como no traíamos nada de la adición anterior, anotamos cero y llevamos uno". Nuestra respuesta cumulativa lee ya "0110". Así llegamos a la última columna a la izquierda, en donde tenemos únicamente el "1" con el cual decimos "tenemos uno, más el uno que traíamos de la adición anterior, es igual a 10, y como ya no hay más dígitos para sumar, anotamos este 10 para concluír la adición binaria". De este modo, el resultado de la suma binaria es igual al número binario:

100110

Con el fin de checar nuestra respuesta, el equivalente decimal de este número de acuerdo con la tabla de potencias de 2 resulta ser:

1001102 = (1)25 + (0)24 + (0)23 + (1)22 + (1)21 + (0)20

1001102 = 32 +0 + 0 + 4 + 2 + 0

1001102 = 3810

PROBLEMA: Sumar los cuatro números binarios cuyas representaciones hexadecimales son 25h, 62h, 3Fh y 52h.

Los cuatro números hexadecimales, convertidos a la representación binaria, son:

25h = 0010 0101

62h = 0110 0010

3Fh = 0011 1111

52h = 0101 0010

La suma de estos cuatro números se muestra a continuación:


El resultado de la suma, 100011000, se puede representar tambié como su equivalente hexadecimal 118h.

PROBLEMA: Multiplicar los números 13 y 25 convirtiendo cada uno a simbolismo binario, multiplicando las cifras binarias obtenidas, y llevando a cabo la conversión del resultado obtenido a simbolismo decimal.

Los equivalentes binarios de los números decimales 13 y 25 ya fueron obtenidos en el problema anterior, resultando ser 1101 y 11001. Con esto, podemos llevar a cabo la multiplicación en forma similar a como se lleva a cabo en el sistema decimal al cual estamos acostumbrados:


Obsérvese que llevar a cabo una multiplicación binaria pura es mucho más fácil de lo que parece ser a primera vista, ya que en realidad sólo se requiere estar llevando a cabo adiciones sucesivas del multiplicando de acuerdo con el valor que tenga cada uno de los dígitos binarios del número que sea escogido como multiplicador. Si aumentamos la capacidad de bits, podemos estar llevando a cabo multiplicaciones de números realmente grandes sin mayor inversión intelectual que la que ya hemos hecho, y esta multiplicación se llevará a cabo a una rapidez electrónica. ¡No en vano desde hace más de un siglo los inventores humanos se esforzaron por crear máquinas que pudieran llevar a cabo este tipo de operaciones aritméticas a velocidades admirables!

Puesto que el producto de los números decimales 13 y 25 es el número 325, podemos checar nuestra respuesta convirtiendo el número binario obtenido a su equivalente decimal, el cual debe ser también 325. El procedimiento para ello se muestra a continuación:

1010001012 = (1)28 + (0)27 + (1)26 + (0)25 + (0)24 + (0)23 + (1)22 + (0)21 + (1)20

1010001012 = 256 + 64 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1

1010001012 = 32510

PROBLEMA: Representar en el sistema BCD los siguientes números:
A) 50123
B) 37
C) 4856
D) 102
E) 3971
F) 74
G) 95437
La representación en el sistema BCD de los números indicados se muestra a continuación:



PROBLEMA
: Una microcomputadora tiene una capacidad de 16 bits. ¿Cuál es el número más grande que se puede representar bajo esta capacidad en la misma:
A) usando el sistema binario, y
B) usando el sistema BCD? Comparar la diferencia entre ambos casos.

A) Usando el sistema binario, el número más grande que se puede representar con 16 bits es:

1111111111111111

Este número binario equivale al número decimal:

216 - 1 = 65,536 -1

= 65,535

B) Usando el sistema BCD, el número más grande que se puede representar con 16 bits es:

1001__1001__1001__1001

9_____9_____9_____9

o sea, el número 9,999.

Al usar el sistema BCD en lugar del sistema binario, tenemos una diferencia de 65,535-9,999 = 55,536. En otros tiempos en los que los costos para representar cada dígito se medía en términos de bulbos electrónicos y relevadores electromecánicos en lugar de las decenas de miles de transistores microminiaturizados que tenemos en la actualidad, esto se consideraba una pérdida lastimosa de capacidad. De cualquier modo, en nuestros tiempos existen muchas situaciones en las cuales el uso del sistema BCD es una necesidad para proporcionar información más "humana" que sea entendible para la gente ordinaria, ya sea en los relojes digitales, en las carátulas digitales en los hornos de microondas, y en los multímetros digitales que usan los técnicos para medir voltajes y corrientes eléctricas. En estas situaciones, el uso de información binaria pura sería casi indescifrable para los humanos, aunque sea el "lenguaje natural" de la electrónica digital.

PROBLEMA: Convertir el número binario .10101 a su equivalente en sistema decimal.

Usando la tabla de equivalencias descrita en el texto, tenemos que:

.10101 = .10000 + .00100 + .00001

.10101 = 1/2 + 1/8 + 1/32

.10101 = .5 + 125 + .03125

.101012 = .6562510

Pero podemos obtener el mismo resultado de la otra manera alterna, la cual consiste en expresar el número binario como una fracción de dos binarios enteros tras lo cual convertimos tanto el numerador como el denominador a su equivalente decimal para así llevar a cabo finalmente la división:

.10101 = 10101/100000

.10101 = (10000 + 100 + 1)/100000

.10101 = (16 + 4 + 1)/32

.10101 = 21/32

.101012 = .6562510

confirmando así el resultado obtenido previamente.

PROBLEMA: Convertir el número 110.011 del sistema binario al sistema decimal.

Para convertir este número binario "mixto" que tiene una parte entera y una parte fraccional, basta con darle a cada "1" binario el valor que le corresponde:

110.011 = 100 + 10 + .01 + .001

110.011 = 4 + 2 + 1/10 + 1/100

110.011 = 4 + 2 + 1/4 + 1/8

110.011 = 6 + .25 + .125

110.0112 = 6.37510

En la forma alterna de solución, expresamos el número como una fracción de dos binarios enteros tras lo cual convertimos tanto el numerador como el denominador a su equivalente decimal llevando a cabo la división:

110.011 = 110011/1000 = (100000 + 10000 + 10 + 11)/1000

110011 = (32 +16 + 2 + 1)/8

110011 = 51/8

1100112 = 6.37510

confirmando así el resultado obtenido previamente.

PROBLEMA: Convertir las siguientes fracciones binarias a su equivalente decimal, expresando los resultados como números racionales (el cociente de dos números enteros):

a) .011
b) .111
c) .1001
d) .1101
e) .10001
f) .11001

a) Usando la tabla de equivalencias, y procediendo de la misma forma en todos los casos:

.011 = .01 + .001 = 1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8

b)
.111 = .1 + .01 + .001 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 4/8 + 2/8 + 1/8 = 7/8

c)
.1001 = .1 + .0001 = 1/2 + 1/16 = 8/16 + 1/16 = 9/16

d)
.1101 = .1 + .01 + .0001 = 1/2 + 1/4 + 1/16 = 8/16 + 4/16 + 1/16 = 13/16

e)
.10001 = .1 + .00001 = 1/2 + 1/32 = 16/32 + 1/32 = 17/32

f)
.11001 = .1 + .01 + .00001 = 1/2 + 1/4 + 1/32 = 16/32 + 8/32 + 1/32 = 25/32

PROBLEMA: Representar los siguientes números decimales en su equivalente binario, redondeando en donde sea necesario a tres cifras significativas.

a) 2/3
b) 1/5
c) 15/16

a) Primero llevamos a cabo la división para convertir el número expresado en forma de quebrado a su forma decimal:

2/3 = .6666666666...

A continuación redondeamos este resultado a tres cifras significativas:

2/3 = .667

Para encontrar el equivalente binario de esta fracción decimal, podemos llevar a cabo una secuencia de substracciones sucesivas consultando la tabla de equivalencias, lo cual nos produce la siguiente serie de pasos:

.667 - .5 = .167 (Un dígito del equivalente binario será .5 = 1/2 = .10000)

.167 - .125 = .042 (Un dígito del equivalente binario será .125 = .00100)

.042 - .03125 = .01075 (Un dígito del equivalente binario será .03125 = .00001)

Analicemos bien lo que se acaba de realizar: consultando la tabla de equivalencias encontramos que el número decimal fraccionario que se corresponde directamente con un equivalente binario exacto que sea el más grande de todos ellos sin exceder al número decimal .667 es el número .5 que equivale al .1 binario. Anotando esto como resultado parcial y tras llevar a cabo la resta del número decimal .5 del número .667, nos queda el número .167, con lo cual consultamos de nuevo la tabla de equivalencias para encontrar el número decimal fraccionario que se corresponde directamente con un equivalente binario exacto que sea el más grande de todos ellos sin exceder al número decimal .167, que resulta ser el número .125 que equivale al .001 binario, anotando esto como resultado parcial. La respuesta estará dada por la suma de los resultados parciales. Este proceso puede ser repetido mecánicamente cuantas veces queramos, aproximando cada vez con mayor precisión al número decimal fraccionario original.

Así, la respuesta (aproximada) es:

.10000 + .00100 + .00001 = .10101

b) 1/5 = .20

.2 - .125 = .075 (Un dígito del equivalente binario será .125 = .00100)

.075 - .0625 = .0125 (Un dígito del equivalente binario será .00010)

Puesto que .03125 excede a .0125, no podemos restarlo de .0125, con lo cual sabemos que el siguiente dígito significativo en el acumulamiento de los resultados parciales deberá ser un "0". Entonces la respuesta (aproximada) debe ser:

.00100 + .00010 + .00000 = .00110

c) 15/16 = .938 (redondeado a tres cifras significativas)

.938 - .5 = .438 (Un dígito del equivalente binario será .5 = 1/2 = .10000)

.438 - .25 = .188 (Un dígito del equivalente binario será .25 = .01000)

.188 - .125 = .063 (Un dígito del equivalente binario será .125 = .00100)

.063 - .0625 = .0005 (Un dígito del equivalente binario será .0625 = .00010)

La respuesta aproximada es entonces:

.100000 + .01000 + .00100 + .00010 = .11110

PROBLEMA: Convertir los siguientes símbolos binarios a su representación octal.

a) 10110
b) 11110
c) 11011
d) 110011
e) 111000
f) 100011
g) 11110000
h) 11001100
i) 10101010

El procedimiento de solución es directo, consistente en separar los números binarios en grupos de tres haciéndolo de derecha a izquierda:

a) 10110 = 10 110 = 26
b) 11110 = 11 110 = 36
c) 11011 = 11 011 = 33
d) 110011 = 110 011 = 63
e) 111000 = 111 000 = 70
f) 100011 = 100 011 = 43
g) 11110000 = 11 110 000 = 360
h) 11001100 = 11 001 100 = 314
i) 10101010 = 10 101 010 = 252

PROBLEMA: Multiplicar los números octales 56 y 45, sin salir para nada del sistema octal.

Para poder llevar a cabo la multiplicación en el sistema octal, en el cual no existe un símbolo para nuestro número "8", resulta conveniente construír una "tabla de multiplicación" octal, la cual se puede construír fácilmente listando en conteo ascendente todos los números octales desde el uno en adelante, y tras ello ir saltando en dicha lista de dos en dos una vez, de dos en dos tres veces, de dos en dos cuatro veces, de dos en dos cinco veces, y así sucesivamente; y tras esto de tres en tres una vez, de tres en tres dos veces, de tres en tres tres veces, de tres en tres cuatro veces, y así sucesivamente, para ir llenando los casilleros de la tabla de multiplicación de dos por dos, dos por tres, dos por cuatro, etc., tres por dos, tres por tres, tres por cuatro, etc., y así sucesivamente, hasta tener la tabla completa, la cual resulta ser:


Con la tabla de multiplicación octal a la mano, y teniendo siempre en mente la manera en la cual se debe llevar a cabo una suma octal, tomando el número menor (45) como el multiplicador y el número mayor (56) como el multiplicando tal y como se acostumbra en la multiplicación usual, el procedimiento de la operación es el siguiente:



PROBLEMA: Convertir los siguientes números hexadecimales a sus equivalentes en sistema octal.

a) 3A7h
b) 41FBh
c) 7C2Eh
d) D589Ah
e) B0Ce5h
f) 6FF23h

Posiblemente la forma más rápida de llevar a cabo la conversión consiste en convertir directamente cada número hexadecimal a su equivalente binario (base-2) y tras esto reagrupar los dígitos binarios en grupos de tres en tres (de derecha a izquierda) llevando a cabo tras esto la conversión de cada grupo a sistema octal.

a) 3A7h = 0011 1010 01112 = 001 110 100 111 = 16478

b) 41FBh = 0100 0001 1111 10112 = 0 100 000 111 111 011 = 407738

c) 7C2Eh = 0111 1100 0010 11102 = 0 111 110 000 101 110 = 760568

d) D589Ah = 1101 0101 1000 1001 10102 = 11 010 101 100 010 011 010 = 32542328

e) B0CE5h = 1011 0000 1100 1110 01012 = 10 110 000 110 011 100 101 = 26063458

f) 6FF23h = 0110 1111 1111 0010 00112 = 01 101 111 111 100 100 011 = 15774438

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