Fundamentos de Lógica Digital

Prefacio a la publicación en Internet

2007-11-19T23:50:00.000-08:00

Este es el material que forma parte de un libro que escribí con el título Fundamentos de Lógica Digital: Problemas y Soluciones. Los derechos del libro están registrados en México ante la Dirección General del Derecho de Autor bajo el Número de Registro de la Obra 09031981-005, con número foliado de ingreso 04289.

El libro está siendo subido a Internet, aprovechando la apertura dada por Google y Blogger, para que estos materiales estén a disposición de todos los estudiantes, maestros, técnicos e ingenieros de todos los países de habla hispana las 24 horas del día de modo permanente.

Desde los días en que fue escrito el libro, en virtud de los meteóricos avances tecnológicos que ha habido muchas cosas han cambiado. Por principio de cuentas, el costo de los diodos y transistores individuales que se requerían para la construcción de algo tan elemental como el sumador binario hacía casi obligatorio el estudio de técnicas como el mapa de Karnaugh para reducir al mínimo la cantidad de componentes discretos requeridos, lo cual en un proyecto para el cual se necesitaban cientos o quizá miles de estos componentes representaba ahorros significativos. Hoy en día, con la integración a gran escala, los ahorros que se pueden esperar obtener con una minimización de unos 28 componentes a unos 22 componentes son mínimos. La simplificación de la lógica requerida ya no es un asunto prioritario, aunque en proyectos pequeños resulta conveniente para reducir el espacio y el alambrado requerido para interconexión. Pero esto no es lo único que ha cambiado. Anteriormente, una vez que se diseñaba algún sistema con circuitos lógicos, la única forma de estar absolutamente seguro sobre el funcionamiento del mismo con los componentes especificados en el diseño era construír un prototipo en un laboratorio. Hoy en día, tales construcciones son obsoletas; podemos "construír" el sistema en un simulador mediantes programas especializados que puedan correr en una computadora de escritorio. Aunque nada sustituye a la experiencia de ir a un laboratorio y empezar a conectar fuentes de poder, interconectar componentes, y aplicar la energía para ver cómo trabaja la creación, la potencia de los programas de simulación permite vaticinar si el sistema diseñado trabajará en la forma que se esperaba o si el diseño fracasará por algún detalle pasado por alto. Ya no es necesario aplicar soldadura para conectar y remover la soldadura para desconectar, hoy solo basta oprimir unas cuantas teclas para "desconectar" y volver a "conectar" cualquier cosa en el monitor de la computadora.

Sin embargo, hay algunas cosas que no han cambiado, las cuales seguramente no cambiarán. Esas cosas son los principios fundamentales sobre los que descansa la lógica digital con la cual se diseñan y se construyen calculadoras de bolsillo, relojes electrónicos sin componentes mecánicos, sistemas médicos para determinar la presión sanguínea automáticamente, en fin, todo en lo cual está palpitando la lógica digital. Es a esos principios a los que estaba dirigido inicialmente el libro. Y es los mismos principios a los que se sigue dirigiendo hoy en día.

En los Estados Unidos, por acta de ley, el 17 de febrero de 2009 entra en vigor una ordenanza que mandata la substitución de todas las señales tradicionales de televisión por señales digitales. El mundo entero marcha pues hacia un futuro plenamente digitalizado, y el conocimiento esencial de la lógica digital ha pasado de ser un arte sofisticado para los técnicos altamente especializados con salarios altos a una verdadera necesidad para muchos cuyas vidas están siendo modificadas dramáticamente por la revolución informática que es a su vez el producto de la creciente sofisticación de los circuitos digitales.

Una innovación en la publicación de este libro en Internet es la adición de numerosas referencias a sitios de Internet en los cuales el lector puede encontrar mayor información acerca de varios temas. Anteriormente, la única forma de poder obtener mayores datos sobre algún tema en particular era consultando una buena biblioteca (algo difícil en la mayoría de los países de habla hispana tomando en cuenta el alto costo de los libros técnicos y las estrecheces económicas enfrentadas por la gran mayoría de las bibliotecas públicas en dichos países) o adquirir libros técnicos conteniendo la información buscada, lo cual tampoco era una buena opción para personas con presupuestos económicos limitados o con dificultades para obtener los libros deseados en sus propios países, teniendo que ordenar tales libros al extranjero a través de un distribuidor con los tiempos largos de espera que son frecuentes en estos casos. En la nueva era de Internet, esto ha llegado a su fin, y el mundo entero se ha convertido en una biblioteca electrónica gigantesca compartida en la cual los conocimientos especializados ya no son propiedad exclusiva de las naciones de alto nivel económico.

La colocación del libro en Internet ha representado un esfuerzo considerable, porque esencialmente ha requerido escribir el libro desde el principio, lo cual ha consumido una enorme cantidad de tiempo. Otros problemas han requerido tener que tomar en cuenta la capacidad limitada de algunos sistemas operativos y navegadores para "imprimir" en la pantalla del monitor ciertos caracteres tipográficos especiales que no son universales. Un ejemplo primario de esto es la operación de inversión lógica que es representada de modo tal que una variable lógica que haya pasado por un proceso de inversión es representada con una raya horizontal puesta encima de la letra que representa la variable que está siendo "negada", lo cual permite escribir expresiones de álgebra Boleana tales como:

Sin embargo, no todas las combinaciones posibles de sistemas operativos y de navegadores de Internet cuentan con la tecnología tipográfica lo suficientemente sofisticada como para permitir escribir en la pantalla del monitor este tipo de simbología (rayas horizontales puestas encima de las letras), lo cual ha ocasionado que mucho de lo que se publica en Internet relacionado de alguna manera con la lógica Boleana no recurra al uso de barras horizontales superiores para denotar variables o expresiones negadas. Para solventar esto y ayudar a los lectores a que puedan leer todo aquello relacionado de alguna manera con el álgebra Boleana y los circuitos lógicos que prescinden del uso de barras horizontales superiores limitándose al uso de apóstrofes, en varias partes del libro además de ponerse una raya encima de las letras que pueda ser exhibida por las combinaciones más recientes de sistemas operativos y navegadores, se han representado también en forma separada en varias partes del libro las expresiones con variables "negadas" con un color diferente, el color azul, (el color es una ayuda del autor a sus lectores, no una convención que sea seguida universalmente), esto además de ponerse como alternativa tipográfica un apóstrofe inmediatamente después de la letra que está siendo "negada", siguiendo una práctica aceptada en muchos textos para denotar la "negación lógica" con apóstrofes. De este modo, la expresión anterior será representada aquí en su forma equivalente del modo siguiente:

A + A' = 1

Cuando aparezcan en este libro en Internet expresiones con este tipo de notación (usando apóstrofes), se les pondrá entre paréntesis rectangulares inmediatamente después de la expresión que aparezca en una línea anterior complementada con alguna barra horizontal encima, esto con el fin de indicar que se trata de expresiones completamente equivalentes pero representadas de modo tipográfico distinto. A continuación se muestra un ejemplo de esto:

A + B = A · B

[__(A+B)' = A' · B'__]

Aquí, la expresión en la primera línea es igual a la expresión en la segunda línea. Ambas son completamente equivalentes.

Otro problema inherente a la publicación del libro en Internet es que, a diferencia del texto impreso en el cual se pueden poner muchos detalles de tamaño pequeño que aún así se pueden distinguir visualmente, muchos de estos detalles finos se pueden perder fácilmente al verse en un monitor de colores SVGA debido a que la gran mayoría de los monitores de computadoras tiene una capacidad de resolución limitada. Esto solo se puede compensar haciendo los diagramas y las figuras más grandes. Desafortunadamente, al hacer la figura más grande, el sitio huésped (en este caso, Blogger) activa automáticamente un atributo conocido como el "redimensionamiento de imagen" que "comprime" el tamaño de la imagen para que de este modo pueda caber dentro del área visual de la página. Afortunadamente, la imagen original no es descartada, sino que se puede obtener con el solo hecho de hacer "clic" con el mouse dentro de la imagen. En aquellos casos en los cuales sea altamente deseable llevar a cabo aquí la ampliación de la imagen con el fin de poder recuperar algunos datos visuales que se hayan perdido en el proceso de compresión, se le recomendará al lector la ampliación de la imagen con texto en letra verde que le dirá ampliar imagen. A continuación tenemos un ejemplo que ilustra este punto, el cual muestra una computadora básica construída en torno al microprocesador Z80 de Zilog:

Si el lector intenta obtener mayores detalles sobre este circuito, es posible que no lo logre. Sin embargo, si hace "clic" con el mouse dentro de la imagen, Blogger le enviará la imagen ampliada. Y si el lector hace nuevamente "clic" con el mouse dentro de la imagen, posiblemente obtendrá una ampliación todavía mayor (esto dependerá del navegador que está siendo utilizado, el tamaño del monitor que está siendo empleado, e inclusive el sistema operativo). También existe la opción en la mayoría de los navegadores actuales de poder abrir una ventana separada e independiente al activar algún enlace, lo cual permite llevar a cabo la operación de ampliar imagen mostrando la imagen ampliada en una ventana separada, permitiendo alternar fácilmente entre el texto y la imagen.

Es importante señalar que aunque no en todas las imágenes se le indica al lector que lleve a cabo el procedimiento de ampliar imagen, muchas de ellas pueden ser vistas con mejor resolución y mayor claridad si se lleva a cabo el procedimiento.

Existe otra razón para llevar a cabo el procedimiento de "ampliación de imagen". Una ventaja de las publicaciones en Internet es que permiten algo que simple y sencillamente no es posible en un texto impreso: la inclusión de archivos animados de formato gif, los cuales pueden destacar de modo a veces impresionante cierto punto de importancia, lo cual los convierte en una excelente ayuda pedagógica. La gran mayoría de estos archivos animados gif, al ser incluídos dentro de las páginas de Blogger, no muestran ningún tipo de animación, porque no lo permite el contenido de la página. Por ejemplo, el siguiente dibujo animado podrá estar mostrando o no una imagen completamente estática al momento de verlo dentro de esta página dependiendo del navegador que se esté utilizando (Firefox de Mozilla, Internet Explorer, Chrome de Google, Opera, etc.):

También el siguiente dibujo que es en realidad un dibujo animado tal vez aparezca como una imagen completamente estática:

Pero si se lleva a cabo el procedimiento de ampliar imagen en cada uno de los últimos dos dibujos, entonces al ser abandonada temporalmente la página para cargar cada archivo gif completo se podrá presenciar la animación, tras lo cual se puede volver a esta página tal y como se acostumbra hacerlo en todos los navegadores de Internet.

Esta obra al ser liberada a la Web pocos años atrás inicialmente fue optimizada para un monitor de 17" con una resolución de pantalla de 1024x768 pixeles, lo cual se convirtió en el estándard de facto para los monitores antiguos del tipo de tubo de rayos catódicos (CRT) que muestran una imagen con una “razón de aspecto” (aspect ratio) de “cuatro a tres”, o 4:3, siendo esto la razón de la anchura de una imagen (medida horizontalmente) a su altura (medida verticalmente). No tardaron en aparecer los monitores de pantalla plana que, inicialmente algo caros, fueron bajando de costo hasta ir reemplazando a una gran cantidad de monitores antiguos del tipo de tubo de rayos catódicos. Estos monitores de pantalla plana permiten una presentación panorámica de mucho mayor anchura con la cual sería posible meter imágenes grandes en su tamaño original sin necesidad de que el lector tenga que ampliar imagen. Sin embargo, no es posible rehacer la obra para aprovechar al máximo la disponibilidad de pantallas panorámicas planas por la sencilla razón de que en muchos países de habla hispana con presupuestos limitados aún se depende de monitores antiguos, y aún si se hiciera el cambio a monitores modernos de pantalla plana en forma masiva es probable que se seguirían utilizando muchas de esas computadoras “viejitas” a las cuales están conectados reteniendo sus sistemas operativos antiguos (Windows XP, Windows Millenium, etc.) que no garantizan en sus actualizaciones la capacidad para poder absorber toda la funcionalidad de las pantallas planas. Esto además de que la presentación de las bitácoras en formatos panorámicos no está garantizada para todos los navegadores usados hoy en día. De este modo, más por razones de compatibilidad con la gran variedad de sistemas utilizados hoy en día en los países de habla hispana que por razones de gusto, la obra se ha dejado intacta tal y como apareció por vez primera.

Dada la enorme superioridad del navegador Mozilla sobre el navegador Internet Explorer, en caso de que haya problemas para la visualización correcta de todos los materiales contenidos en este libro se recomienda fuertemente la instalación de Mozilla en la máquina en donde serán consultados estos materiales, lo cual no producirá conflictos con los navegadores ya puestos en la máquina y en cambio sí dará una opción superior verificada para este texto.

Es importante señalar que este autor no ha escatimado recursos para incluír la mayor cantidad posible de diagramas, sobre el precepto educativo de que la enseñanza visual es mucho más efectiva y mucho más duradera que la enseñanza meramente simbólica. Más aún, aprovechando el hecho de que prácticamente todos los monitores usados en la actualidad para conectarse a Internet bajo casi cualquier sistema operativo son monitores de color, capaces de desplegar una amplia gama de colores llamativos, a una gran cantidad de los dibujos del libro se les ha añadido colorido generosamente con el fin de hacer más atractiva la presentación y lograr mantener enfocada la atención del lector, a diferencia de los trabajos sometidos para su publicación en publicaciones profesionales en las cuales se acostumbra darle "seriedad" a los materiales aceptados para su publicación no sólo reduciendo a un mínimo indispensable la cantidad posible de dibujos y ejemplos ilustrativos sino haciéndolo todo en blanco y negro, como si fuese una sesión de luto solemne.

Cada uno de los problemas resueltos incluídos en el libro tiene un propósito educativo muy específico, ya sea el introducir o expandir alguna idea nueva, o el proporcionar algo de práctica en algún concepto clave, además de que están acomodados en orden creciente de dificultad, yendo de lo más fácil a lo más difícil, razón por la cual es importante estudiarlos en el orden en el que están puestos. En varias partes del libro, se incurre en detalles que pueden parecer redundantes a un extremo que podrá parecer hasta ridículo, como lo es el caso de varios problemas relativos al álgebra Boleana, en donde en varias partes se podrá apreciar una serie adicional de pasos de resolución que posiblemente serían eliminados por la mayoría de los editores de libros y que ciertamente no serían admisibles en una publicación profesional. Sin embargo, la intención de esta obra es hacerla accesible al mayor auditorio posible, lo cual incluye a gente que no necesariamente estará cursando estudios de grado universitario y que inclusive estará estudiando estos materiales de manera autodidacta, por cuenta propia, sin el beneficio de la ayuda de un maestro competente a su lado que le pueda estar aclarando sus dudas, razón por la cual ha sido necesario ir en detalle en cosas que de otra manera deberían ser muy claras para personas con grado universitario.

Una gran ventaja de la publicación de un libro en Internet en contraste con la publicación del mismo libro en papel tradicional es que el autor del libro puede recibir peticiones de sus lectores (maestros, estudiantes, público en general) pidiendo que cierto tema sea tratado con más detalle, con mayor claridad, o con mejores ejemplos y ayudas visuales. El autor de este libro está en la mejor disposición de atender a sus lectores en cualquier cosa que sirva para ampliar y mejorar el valor educativo de esta obra. Por otro lado, los errores ortográficos, tipográficos y humanos de plano le pueden ser comunicados al autor y pueden ser corregidos de modo casi inmediato, algo que no es posible en la edición impresa de un libro en el que a duras penas y esporádicamente se publica una "fe de erratas". El autor de este libro agradecerá a sus lectores el señalamiento de cualquier error de este tipo prometiendo una corrección expedita del mismo en la medida que su tiempo se lo permita, como también agradecerá el señalamiento de "enlaces muertos" de Internet citados en esta obra con el fin de removerlos y posiblemente reemplazarlos con sustitutos alternos. Esto convierte a un libro publicado en Internet en una obra "viva", a diferencia de un libro impreso que es incapaz de poder interactuar con sus lectores. Finalmente, la mejor ventaja de todas es que la publicación de un libro en Internet no tiene necesidad de tener que pasar por el lamentable proceso de revisión de parte de los editores del libro, los cuales en muchas ocasiones mutilan y cambian tanto el texto original que a fin de cuentas el texto publicado se asemeja muy poco a la intención original del autor.

Como otro signo de los tiempos actuales, en esta "segunda edición" del libro aparece algo que no apareció en la edición original: las direcciones de varios sitios en Internet en los cuales se pueden descargar (bajar) programas ejecutables, la mayoría de ellos gratuitos, para auxiliar a los estudiantes y técnicos en el estudio, análisis y diseño de los circuitos lógicos.

Para la publicación del libro en Internet, se han incluído además varios suplementos que no formaban parte de la obra original, empezando por el Suplemento # 1 que trata en mayor detalle sobre las familias de componentes electrónicos con los cuales se implementan las funciones lógicas básicas. El Suplemento # 1 deberá satisfacer en algo la curiosidad de quienes quieren saber qué es lo que está ocurriendo más a fondo dentro de esas "cajas negras" que hemos simbolizado como funciones lógicas básicas o derivados de las mismas. Aunque un técnico que conozca los fundamentos de la lógica digital se la puede pasar muy bien sin saber lo que hay adentro de esas "cajas negras", y puede ser capaz no sólo de reparar sistemas que utilicen lógica digital sino inclusive hasta de hacer diseños como todo un profesional, en muchos siempre hay alguna curiosidad por saber qué es lo que está ocurriendo "adentro". La exposición del tema de las familias lógicas es presentado en forma cualitativa y no en forma cuantitativa, ya que lo último nos requeriría entrar más a fondo sobre cuestiones tales como el funcionamiento de los transistores bipolares y los transistores de efecto de campo, las leyes de Kirchofff, efectos térmicos, etc, y este libro presupone que el lector promedio de esta obra introductoria al tema carece de tales conocimientos. Tenemos además el Suplemento # 2 que trata sobe el pináculo de la integración de funciones lógicas básicas a gran escala: el microprocesador, seguido del Suplemento # 3 que describe la forma en la cual trabaja el microprocesador y del Suplemento # 4 que de hecho es un suplemento dividido en dos partes que tienen cierta interrelación: el Suplemento 4a: Las instrucciones del microprocesador 8086 y el Suplemento 4b: Programación del microprocesador que describe cómo se lleva a cabo la elaboración de programas para que estos sean ejecutados por una microcomputadora. No hay mejor forma de tener una idea sobre cómo se lleva a cabo la programación de un microprocesador que haber visto un conjunto de instrucciones de un microprocesador típico, y el microprocesador 8086 de Intel ofrece por su relativa sencillez un buen punto de partida para ello. Además de estos suplementos, tenemos el Suplemento # 5 que describe cómo una microcomputadora se puede comunicar con el mundo exterior cuando existe tan sólo un canal (o un cable elétrico) a través del cual se pueda transmitir la información. Además de los suplementos ya indicados, se han anexado otros dos suplementos que describen en forma elemental ciertos circuitos integrados analógicos (en oposición a los circuitos integrados digitales tratados en el libro) de uso frecuente que suelen aparecer en sistemas híbridos en los cuales el diseño requiere integrar tanto componentes de electrónica digital como de electrónica analógica. Estos son el Suplemento # 6 que trata del amplificador operacional mejor conocido como op-amp, y el Suplemento # 7 que trata del temporizador 555, mejor conocido como timer 555.

Atendiendo una petición formulada por una cantidad considerable de lectores míos a quienes en cierta forma considero mis estudiantes o maestros colegas, he añadido de última hora un suplemento adicional, el Suplemento # 8 que proporciona una introducción al tema de los diagramas de escalera y la aplicación de dichos diagramas en la programación de controladores lógicos programables. Esto puede considerarse en cierta forma el punto de entrada hacia las áreas de la automatización industrial, muy en especial la robótica o mecatrónica.

Para aquellos estudiantes a nivel universitario que quieran encontrar en este libro algo de información acerca de la representación de los circuitos lógicos secuenciales usando el modelo teórico de la máquina Moore y el modelo teórico de la máquina Mealy, se ha incluído el Suplemento # 9 con una breve exposición sobre estos tópicos.

Además de las numerosas figuras y de los numerosos diagramas de los que consta la obra original, se han agregado dentro del libro figuras y diagramas disponibles libremente en Internet con el fin de ampliar aún más la claridad del texto. Esta profusión de imágenes deberá servir como un substituo a la falta de un pizarrón con el cual el autor de este libro normalmente aclararía a sus estudiantes temas un poco más difíciles de captar. Se ha hecho todo el esfuerzo posible por mantener el espíritu original del libro, haciendo modificaciones sólo cuando ello resulta en una mejor explicación o en la adición de más figuras y diagramas.

Con el fin de economizar tiempo y poder tener todos los capítulos de los que consta este libro disponibles de una manera casi inmediata, una alternativa cómoda y eficiente para aquellos estudiantes o instituciones educativas que tengan conexiones a Internet de baja velocidad consiste en ir "guardando" en el disco duro de la computadora (o en una memoria del tipo "flash drive" USB) cada página (completa) en que esta puesta cada capítulo conforme se van bajando los materiales. Esto siempre es posible en la mayoría de los navegadores actuales como Internet Explorer o Mozilla con la opción de la línea de menú puesta en "File" (Archivo) con una opción como "Save Page As..." (Guardar la página como...). De este modo, la siguiente vez que se tenga que consultar algún capítulo, en vez de accesar la página en Internet bajando lentamente todos los materiales se puede accesar directamente la página desde el mismo disco duro o desde la memoria "flash drive" (de cualquier modo se requiere conexión a Internet para bajar contenido adicional proporcionado por Blogger para poder construír la página) en una forma mucho más rápida, convirtiendo esta obra en un "libro electrónico" en el pleno sentido de la palabra.

Se ha agregado una bibliografía actualizada que puede ser utilizada como material de referencia y consulta posterior. Tal vez resulte de interés para muchos lectores el saber que algunos de los libros referenciados en la bibliografía se pueden descargar gratuitamente de Internet de uno o varios sitios.

Libero pues este libro con la esperanza de que sus materiales y sus enseñanzas puedan ser de alguna utilidad para quienes desean conocer más a fondo cuáles son los fundamentos esenciales en los que están basadas las computadoras que hacen posible hacer llegar esto mismo a todos a través de Internet.

El Autor

Armando Martínez Téllez

Prólogo al libro

2007-11-19T23:40:00.000-08:00

Con el advenimiento de la microelectrónica, el hombre moderno ha visto aparecer ante sí una serie interminable de maravillas consideradas imposibles hace unas cuantas décadas. El reloj electrónico digital ha venido desplazando al reloj mecánico del mercado y se considera que en un futuro no lejano lo eliminará por completo. La calculadora electrónica ha sido perfeccionada a grado tal de que una calculadora de bolsillo puede efectuar operaciones matemáticas que las primeras computadoras de la postguerra (Segunda Guerra Mundial) no podían llevar a cabo, amén de ocupar edificios enteros. Las comunicaciones por satélite se han convertido en una realidad práctica. El teléfono automático de tonos que desplazó al teléfono mecánico rotatorio, el teléfono celular y la automatización del servicio de telefonía de larga distancia que antes requería de operadoras dedicadas también aparecieron conjuntamente. En la industria, las plantas cuyo proceso es controlado electrónicamente por computadoras son hoy día una necesidad absoluta. Existen innumerables ejemplos más que podrían ocupar volúmenes enteros.

Los avances actuales prometen para el futuro productos tan asombrosos como el diagnosticador médico automático, el carro electrónico controlado por computadora, visión electrónica para los ciegos y máquinas con inteligencia artificial, para citar únicamente unos cuantos.

Todo lo anterior ha sido producto del trabajo intenso y dedicado de muchos hombres de ciencia con gran visión para el futuro. Esta explosión tecnológica, revolución generada con el desarrollo continuo del circuito integrado, ha venido a crear una gran demanda de técnicos e ingenieros familiarizados con una rama nueva de la electrónica, la Lógica Digital, la cual provee las bases teóricas para el diseño de todo lo arriba citado.

Desafortunadamente, no son suficientes los expertos especializados en esta materia para atender la gran demanda que hay de ellos en los países industrializados. El problema es más grande aún en las naciones en vías de desarrollo. La falta de material didáctico unificado, consistente con las técnicas pedagógicas modernas, ha creado un vacío difícil de llenar que vuelve el estudio de esta rama algo problemático aún para estudiantes de los países industrializados, que tratan continuamente de conciliar las teorías abstractas aprendidas en la escuela con las enormes diferencias que encuentran en la práctica.

En un esfuerzo por llenar este gran vacío, sale a la luz esta obra con la esperanza de facilitar el avance tecnológico de todos los pueblos de Hispanoamérica.

La presente obra contiene más de 150 problemas resueltos en su totalidad. El núcleo central del libro son precisamente estos problemas resueltos. Un técnico que pueda aprender ya sea con la ayuda de un tutor o maestro o por cuenta propia a resolver todos los problemas del libro estará capacitado para poner sus manos encima de prácticamente cualquier sistema construído mediante circuitos digitales. El empleo de numerosos dibujos esquemáticos coloca a esta obra por encima de muchos libros publicados a la fecha. Es la opinión firme del autor, en contra de muchos libros de texto clásicos que frecuentemente presentan una gran cantidad de problemas al final de cada capítulo y cuyas soluciones nunca proporcionan o si lo hacen dichas soluciones se relegan a la parte trasera del libro limitándose a poner las de unos cuantos problemas selectos, que todo problema propuesto en un libro debe ir acompañado siempre por su solución; de lo contrario la solución de los mismos por parte del estudiante sin respuestas contra las cuales pueda verificar sus resultados rápidamente anula el entusiasmo al comienzo de un curso nuevo, volviéndolo monótono y aburrido.

Los símbolos lógicos empleados en este libro están de acuerdo con las normas impuestas por las especificaciones ASA Y32.14-1962 de la American Standard Graphic Symbols for Logic Diagrams (también conocidas como el estándard militar MIL-STD-806B), cuyo uso es adoptado en la actualidad por la industria en general no solo en los Estados Unidos sino en el mundo entero.

Se ha evitado al máximo el empleo de la lógica "negativa", ya que esta tiende a crear confusión inclusive en los ingenieros y técnicos más experimentados. Asimismo, se ha eliminado casi por completo en esta obra el empleo de matemáticas avanzadas, ya que estas tienen a incrementar innecesariamente la complejidad de la materia. Se considera aquí que el empleo del álgebra boleana (la cual es relativamente fácil de aprender en comparación con el álgebra clásica que se enseña en las escuelas de enseñanza media) es suficiente para analizar el comportamiento de los circuitos lógicos, lo cual se puede comprobar a través de esta obra. Temas tales como los diagramas de Venn, la unión e intersección de conjuntos, por nombrar unos cuantos, se han evitado por completo; ya que está comprobado que su uso, pese a que proporciona otras formas de estudiar el comportamiento de los circuitos lógicos, tienen un uso extremadamente limitado para el análisis práctico de los mismos en el campo.

Por la claridad con la cual se describe el material aquí contenido, se considera que esta obra será de utilidad no sólo para los estudiantes de Ingeniería de los institutos tecnológicos y universitarios de Hispanoamérica ansiosos de comprender los fundamentos de esta rama novedosa de la electrónica. Para los profesores de la materia es una fuente de material de examen y de ejemplos a desarrollar en clase. Para el estudiante es una fuente de información que podrá serle útil por el resto de su vida. Para el ingeniero práctico representa una colección extremadamente variada y útil de circuitos usados con gran frecuencia en la industria. Para el autodidacta, esta obra tal vez sea una necesidad.

El Autor

Contenidos

2007-11-19T23:30:00.000-08:00

Tabla de Contenidos

Capítulo 1: La Numeración Binaria

Capítulo 1: Problemas resueltos

Capítulo 2: Las Tres Funciones Lógicas Básicas

Capítulo 2: Problemas resueltos

Capítulo 3: El Algebra Boleana

Capítulo 3A: Problemas resueltos

Capítulo 3B: Problemas resueltos

Capítulo 4: El Mapa de Karnaugh

Capítulo 4: Problemas resueltos

Capítulo 5: El Flip-Flop R-S. Memorias. Multivibradores

Capítulo 5: Problemas resueltos

Capítulo 6: El Flip-Flop J-K. Contadores

Capítulo 6A: Problemas resueltos

Capítulo 6B: Problemas resueltos

Capítulo 7: Tópicos Especiales

Capítulo 7: Problemas resueltos

Capítulo 8: Lógica Multivaluada

Capítulo 8: Problemas resueltos

Suplemento # 1: Las Familias Lógicas

Suplemento # 2: El Microprocesador (µP)

Suplemento # 3: Cómo Trabaja el Microprocesador

Suplemento # 4a: Las Instrucciones del µP 8086

Suplemento # 4b: Programación del Microprocesador

Suplemento # 5: Las Comunicaciones Asíncronas

Suplemento # 6: El Amplificador Operacional

Suplemento # 7: El Temporizador 555

Suplemento # 8: El PLC. Diagramas de escalera

Suplemento # 9: Máquinas Moore. Máquinas Mealy

Bibliografía

1: La numeración binaria

2007-11-19T23:20:00.000-08:00

Desde que el hombre aprendió a hacer uso de razón, se vió en la necesidad de contar de alguna manera los objetos que le rodeaban y, muy en especial, los que poseía. El florecimiento del comercio en los tiempos antiguos agravó aún más la necesidad de utilizar un sistema numérico preciso y fácil de utilizar.

De esta manera, el hombre empezó a contar de diez en diez (que es lo que hoy conocemos como el sistema decimal) influenciado por el hecho de que poseía diez dedos. Conforme ascendía la numeración, cada unidad numérica recibía un símbolo diferente (por ejemplo, 3, 4, 5 en la numeración arábiga). Después del nueve, se tomaba el símbolo que representaba la menor cantidad de unidades (el 1) y se le agregaba un cero, con lo cual se obtenía la cantidad décima. La operación empezaba de nuevo su conteo ascendente hasta llegar a diecinueve, después de lo cual se aumentaba la cifra a la izquierda en una unidad poniéndose un cero a la derecha de la misma, repitiéndose el proceso indefinidamente. Podemos observar que, sin el cero, se habría requerido un símbolo diferente para cada número mayor que nueve (por ejemplo, el símbolo A para el diez, el símbolo B para el once, el símbolo C para el doce, etc.). En efecto, sin el cero, cualquier sistema numérico resulta extremadamente complejo e impráctico (podemos imaginar los problemas que padecían los romanos cuando en su sistema de numeración romana trataban de multiplicar una cantidad por otra, cuando trataban de multplicar algo como XXIII por LIV en vez de lo que para nosotros es 23 por 54). No en vano se ha proclamado la invención del cero como uno de los más importantes avances en la historia de la humanidad.

Nuestra atención se vuelve ahora hacia un problema filosófico. Supongamos que el hombre en vez de tener cinco dedos en cada mano hubiese tenido tres. ¿Cuál habría sido nuestra forma de contar?

Un momento de reflexión nos indica que nuestro sistema numérico en tal caso no habría sido muy diferente del sistema decimal que conocemos en la actualidad. Al tener tres dedos en cada mano, nuestra inclinación natural habría sido contar de seis en seis, de la misma manera en que el hombre moderno con cinco dedos en cada mano cuenta de diez en diez. Al contar de seis en seis, la numeración ascendería de la manera siguiente:

Notamos que el sistema numérico basado en seis dedos, el sistema numérico base seis, nunca utiliza el símbolo 6, de la misma manera que en el sistema númerico base diez (o sistema decimal) no existe ningún símbolo especial para representar el número diez. Notamos también que el conteo ascendente en el sistema numérico base seis procede en forma similar al conteo ascendente en el sistema numérico base diez. Al llegar al 5, se toma el símbolo que representa la menor cantidad de unidades (el 1) y se le agrega un cero, obteniéndose así la siguiente cifra. El proceso se repite indefinidamente de modo similar al proceso utilizado en el sistema decimal. El número que sigue a 555, por ejemplo, sería 1000. Nótese que una colección de ocho objetos en el sistema decimal se representa con el número 8 mientras que en el sistema numérico base seis se representa con el número 12 (esta equivalencia se representa simbólicamente como 8₁₀ = 12₆).

Por extraño que el sistema numérico base seis nos parezca, debemos recordar que éste no nos sería tan extraño si tuviésemos tres dedos en cada mano.

Vemos pues, que la única razón por la cual contamos de diez en diez es porque tenemos diez dedos en ambas manos. Vemos también que son igualmente posibles otros sistemas numéricos, no sólo el sistema numérico base seis, sino también el sistema numérico base cuatro, el sistema numérico base siete, etc.

Podemos convertir un número cualquiera de nuestra base decimal a una base menor (por ejemplo, un número en sistema decimal a su equivalente en sistema base tres) por el método de la división sucesiva. Este método se lleva a cabo de la siguiente manera:

(1) Se divide el número decimal dado entre la base al cual queremos convertir al número, y se destaca el residuo obtenido.

(2) El cociente obtenido de la división anterior se vuelve a dividir nuevamente entre la base a la cual queremos convertir el número, y se destaca el residuo así obtenido.

(3) El procedimiento anterior se repite hasta que ya no es posible seguir dividiendo sin obtener una fracción con punto decimal. Al llegar a esta etapa, se destacan el dividendo obtenido así como el residuo.

(4) El número correspondiente a la base menor se obtiene escribiendo como el primer dígito el dividendo obtenido en el último paso anterior, y poniendo como el segundo dígito (a su derecha) el residuo obtenido del también del último paso anterior.

(5) Para el tercer dígito, escribimos a la derecha del resultado anterior el residuo obtenido de la penúltima división.

(6) El paso anterior se repite hasta que se hayan agotado todos los dígitos.

Para convertir un número en una base menor al sistema decimal (por ejemplo, un número en el sistema base siete a su equivalente en sistema decimal), se multiplica la primera cifra del número por la base menor. Al producto resultante se le agrega la segunda cifra del número y se vuelve a multiplicar por la base menor. El procedimiento se continúa hasta agotar las cifras, después de lo cual se tendrá el número decimal.

De un interés especial para nosotros es el sistema numérico base dos o sistema binario.

Si el hombre hubiera tenido tan solo un dedo en cada mano, entonces para ir contando "hacia arriba de uno en uno" en el sistema base dos o sistema binario, y tomando en cuenta que así como en el sistema decimal o sistema base diez al que estamos acostumbrados no existe un símbolo especial para representar el número diez tampoco en el sistema binario existirá un símbolo especial para representar el número dos, el conteo binario ascendente "hacia arriba" procedería de la manera siguiente:

El número binario 110 que se ha destacado con fondo de color amarillo es el que se utiliza para identificar con el símbolo "6" lo que nosotros por costumbre llamamos un sexto objeto o una colección de seis cosas. En una canasta de manzanas, el objeto, que podría ser la sexta manzana, sigue siendo el mismo independientemente de los símbolos que usemos para identificarlo. Lo único que cambia es nuestra forma de representarlo, que como hemos visto es hasta cierto punto arbitraria. (En esta lista de números binarios se ha destacado también, con fondo color ciano, el número binario que representa a un onceavo objeto.) Y así, en el sistema binario, tal vez al ir al mercado a comprar unas naranjas le diríamos a la encargada del puesto algo como "por favor deme 101 naranjas". Y si esto nos parece raro, hay que meditar que para los individuos de una civilización alienígena que tuviesen siete dedos en cada mano, dando un total de 14 dedos (con lo cual su sistema de numeración seguramente sería base 14), nuestro sistema de contar decimal tal vez les parecería sumamente extraño. Todo es cuestión de perspectiva.

¿Y por qué es de tanto interés para nosotros el adentrarnos en un sistema numérico como el sistema binario, como si no tuviéramos ya suficientes problemas con el sistema decimal?

Al tratar de utilizar circuitos eléctricos para llevar a cabo operaciones matemáticas (o bien, operaciones de control), nos encontramos con el hecho de que existen únicamente dos estados posibles que se pueden utilizar para llevar a cabo procesamiento de información. Uno es el estado de encendido, lo cual podemos representar con el número uno ("1"). El otro es el estado apagado, el cual representamos como cero ("0").

Imaginemos una hilera de cinco focos, en la cual el primer foco (a la izquierda) está apagado, los dos focos siguientes encendidos, el cuarto foco apagado y el quinto foco encendido. Representando los focos encendidos con un "1" cada uno y los focos apagados con un "0" cada uno, obtenemos la siguiente representación:

01101

Este número representa el número 13 en el sistema decimal. Cada dígito del número binario, encendido o apagado, se conoce como bit. Una serie de varios bits en sucesión como la arriba mostrada se conoce comunmente como palabra binaria o simplemente palabra. Así pues, siguiendo la costumbre legada de los árabes sarracenos, en la numeración binaria, al igual que en la numeración decimal en la cual conforme se va contando hacia arriba las cifras de magnitud creciente correspondientes a las unidades, las decenas, las centenas, etc. se van escribiendo hacia la izquierda, también en la numeración base 2 se acostumbra escribir los números binarios creciendo hacia la izquierda, y al hacer esto el "bit" de menor magnitud que es puesto en el extremo derecho es conocido como el bit menos significativo (en inglés: Least Significant Bit ó LSB), mientras que el "bit" de mayor magnitud es puesto en el extremo izquierdo y es conocido como el bit más significativo (en inglés: Most Significant Bit ó MSB).

A continuación se muestra una tabla conocida como tabla de equivalencias:

Usando tablas como ésta es posible acortar la conversión de un número en sistema binario a sistema decimal y viceversa. Por ejemplo, si se desea encontrar el equivalente decimal de la palabra 10110, notamos que:

10110 = 10000 + 100 + 10

= 16 + 4 + 2

= 22

Veamos esto mismo desde otro punto de vista, desde el punto de vista de la representación de un número usando potencias de dos. La tabla anterior de equivalencias puede ser representada usando potencias del número dos (en donde por definición una exponenciación a la potencia cero es tomada como la unidad):

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 2x2 = 4

2³ = 2x2x2 = 8

2⁴ = 2x2x2x2 = 16

2⁵ = 2x2x2x2x2 = 32, etc.

Teniendo esto en mente, podemos construír una tabla de potencias de dos como la siguiente:

Esta tabla, basada en las potencias del número dos (en donde por definición la exponenciación a la potencia cero es tomada como igual a la unidad) se utiliza de la siguiente manera: Supóngase que queremos convertir el número decimal 59 a su equivalente en sistema binario. Este número es mayor que 32 pero es menor que 64, de modo tal que la primera cantidad que formará parte del mismo será 2.5=32. Si le sumamos el siguiente número inferior de la tabla, 2.4=16, la cantidad cumulativa será 48, la cual no excederá el número decimal 59, de modo tal que podemos agregar 2.4 al sumando cumulativo. Y si le sumamos el siguiente número inferior de la tabla, 2.3=8, la cantidad cumulativa será 56, la cual tampoco excederá el número decimal 59, de modo tal que podemos agregar 2.3 al sumando cumulativo. Sin embargo, no podemos agregar 2.2=4 porque la suma cumulativa excedería el número decimal 59, de modo tal que descartamos 2.2 como posible componente de la suma cumulativa. Procediendo de esta manera hasta agotar la tabla, vemos que el número decimal 59 se puede representar en potencias de dos de la manera siguiente:

59 = 32 + 16 + 8 + 0 + 1 + 1

59 = 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 0 + 2¹ + 2⁰

Con esto, la representación del número 59 en ambas bases (la base decimal y la base 2) procede de manera inmediata consultando la tabla:

59₁₀ = (100000)₂ + (10000)₂ + (1000₎₂ + (0)₂ + (10)₂ + (1)₂

59₁₀ = 111011₂

Este resultado puede ser corroborado con el método de la división sucesiva.

Para el procedimiento inverso, esto es, convertir un número de cierta base a su equivalente en sistema decimal, podemos hacer tal cosa de manera sencilla llevando a cabo la expansión del número a través de la representación en las potencias del número en su base orignal. Por ejemplo, si queremos convertir el número binario 101001 a su equivalente en sistema decimal, la expansión sobre las potencias de dos se llevará a cabo de la siguiente manera:

101001₂ = (1)2⁵ + (0)2⁴ + (1)2³ + (0)2² + (0)2¹ + (1)2⁰

101001₂ = 32 +0 + 8 + 0 + 0 + 1

101001₂ = 41₁₀

Ahora bien; podemos sumar, restar, multiplicar y dividir en el sistema binario de la misma manera en la cual llevamos a cabo dichas operaciones en el sistema decimal.

Existe una forma especial de representar los números decimales usando el sistema binario, para que estos se parezcan un poco más a la numeración que usamos (aunque no es notación binaria pura). Cada dígito decimal se representa por su equivalente por separado, sin llevar a cabo conversión alguna. Por ejemplo, el número 3497 se representa como sigue:

Esta forma de representación se conoce como el código decimal codificado binario BCD (del inglés Binary Coded Decimal).

Ahora nos plantearemos otra dilema filosófico un poco diferente al problema con el cual comenzamos este capítulo: Supóngase que el hombre en vez de tener cinco dedos en cada mano hubiese tenido ocho. ¿Cuál habría sido nuestra forma de contar? (El caso no es tan hipotético como pudiera creerse; hay personas que de nacimiento son portadoras de una falla genética que produce en ellas algo conocido como polidactilismo, lo cual es una expresión médica para designar la presencia de más de cinco dedos ya sea en las manos o en los pies; y aunque pudiera parecer que existe alguna ventaja en poseer una mayor cantidad de dedos en ambas manos o pies que los cinco que actualmente tenemos, la evolución por alguna razón no ha favorecido una cantidad mayor de dedos).

Nuevamente, un momento de reflexión nos indica que nuestro sistema numérico en tal caso no habría sido muy diferente del sistema decimal que conocemos en la actualidad, excepto que estaríamos contando de dieciseis en dieciseis. Al tener una abundancia de dedos en ambas manos, muy posiblemente habríamos inventado algún símbolo único como el símbolo A para representar en dicho sistema numérico base-16 lo que hoy denotamos como diez con dos símbolos (10). Para representar el equivalente del número decimal 11 nuestro doceavo dedo se podría haber representado con otro símbolo nuevo, como el símbolo B. De este modo, habríamos tenido un símbolo diferente para representar cada número hasta antes de llegar al número 16 (decimal). Y al llegar a lo que vendría siendo el equivalente del número 16 decimal, se tomaría el símbolo que representa la menor cantidad de unidades (el 1) y se le agregaría un cero, obteniéndose así la siguiente cifra. El proceso se repite indefinidamente de modo similar al proceso utilizado en el sistema decimal. Un conteo ascendente en este sistema numérico hexadecimal procede de la siguiente manera:

Base 10_____Base 16

0__________0
1__________1
2__________2
3__________3
4__________4
5__________5
6__________6
7__________7
8__________8
9__________9
10__________A
11__________B
12__________C
13__________D
14__________E
15__________F
16__________10
17__________11
18__________12
19__________13
20__________14
21__________15
22__________16
23__________17
24__________18
25__________19
26__________1A
27__________1B
28__________1C
29__________1D
30__________1E
31__________1F
32__________20

Para destacar un número como un número que está basado en el sistema hexadecimal, utilizamos una letra h ya sea al final del número o al principio del número o como subscripto del número. Así, el número 19 hexadecimal se vendría destacando con una de las siguientes representaciones:

19h

19_h

Por extraño que nos parezca, este sistema numérico hexadecimal es muy utilizado en el área de las ciencias computacionales. La razón de su enorme utilidad radica en el hecho de que existe una relación sencilla entre las representaciones de un número binario puro y su equivalente en sistema hexadecimal cuando el número binario es un múltiplo de cuatro bits:

aaaaaBinario___Hexadecimal

0000________0
0001________1
0010________2
0011________3
0100________4
0101________5
0110________6
0111________7
1000________8
1001________9
1010________A
1011________B
1100________C
1101________D
1110________E
1111________F

lo cual simplifica enormemente la conversión de un sistema numérico a otro. Por ejemplo, si queremos encontrar el equivalente hexadecimal del siguiente número binario:

11000101000001101000000101011000

todo lo que tenemos que hacer es "separar" el número binario en grupos de cuatro bits:

1100 0101 0000 0110 1000 0001 0101 1000

tras lo cual podemos convertir directamente cada grupo individual en su equivalente hexadecimal:

C 5 0 6 8 1 5 8

Para convertir un número hexadecimal a binario, simplemente aplicamos el procedimiento inverso. Si queremos convertir el número hexadecimal AF37 a su equivalente binario, lo hacemos tomando en cuenta que A=1010, F=1111, 3=0011 y 7=0111. Así, el número hexadecimal de este ejemplo es igual a:

1010 1111 0011 0111

o en forma más abreviada (aunque un poco menos clara):

1010111100110111

Puesto que se requiere de muchos bits para poder representar un número de tamaño moderado, al leer un número de 32 bits almacenado en un registro como el siguiente:

1010 1111 0101 0111 0110 0001 0001 1011

es mucho más rápido y fácil para un humano escribir o leer:

AF57611B

que el número binario mostrado.

Al igual que en la numeración decimal existen y se manejan con frecuencia los números negativos, precedidos por un signo menos (-) puesto a la izquierda de los mismos, en la numeración binaria también existen y se manejan con frecuencia los números negativos. Sin embargo, en la numeración binaria para distinguir un número negativo de uno positivo no se acostumbra hacerlo con un signo de menos (-). Una forma de llevar a cabo algún tipo de distinción es antecediendo la cifra binaria con un "0" si la cifra es positiva (+) ó con un "1" si la cifra es negativa (-). Si reservamos el primer bit hacia la izquierda para representar el signo del número binario, entonces los siete bits restantes en una palabra binaria de un "byte" no son suficientes para codificar números decimales con suficiente precisión, y en tal caso se requieren por lo menos dos bytes para poder representar números decimales hasta 32 mil. Bajo la convención universal del signo que acabamos de dar:

00000001 representa al número decimal 1

10000010 representa al número decimal -2

Una desventaja de esta representación es que los números binarios de signos distintos no pueden sumados en la forma usual como se acostumbra hacerlo, ya que si sumamos los dos números binarios anteriores el resultado será 10000011, o sea -3, lo cual es incorrecto (la respuesta correcta debería ser -1). De cualquier modo, mantendremos esta representación hasta que encontremos en capítulos posteriores otra que nos permita llevar a cabo en forma correcta operaciones aritméticas con números de signos distintos en el sistema binario obteniendo siempre la magnitud correcta con el signo correcto. De cualquier modo, lo que no cambiará será el uso del primer bit reservándolo para denotar el signo de la cantidad.

Hemos hablado del uso de la numeración binaria para poder ir contando números enteros de uno en uno en el sistema base-2. Es posible que aquí haya algún lector que se pregunte: ¿será posible utilizar también el sistema binario para contar y medir fracciones, cantidades menores que la unidad, tal y como lo hacemos en el sistema decimal? La respuesta es afirmativa, y para poder lograrlo tenemos que introducir en la numeración binaria el mismo artificio que usamos para distinguir números enteros de números menores que la unidad: el punto, que en este caso en vez de ser el punto decimal será el punto binario.

Una fracción representa una división. Al igual que como ocurre en el sistema decimal, las fracciones en el sistema binario pueden ser escritas con un numerador y un denominador separados con una barrita horizontal:

En el sistema decimal las fracciones pueden ser escritas con un punto decimal. Ejemplo de ello son:

Del mismo modo, las fracciones en el sistema binario también pueden ser escritas utilizando un punto para ello, aunque en lugar de hablar de un punto decimal estamos hablando de un punto binario. Así:

Dicho de otra manera, para poder representar fracciones en el sistema binario, el principio sigue siendo el mismo. Los símbolos decimales para cantidades fraccionarias son construídos a base de décimas, centésimas (décimas de décimas), milésimas (décimas de décimas de décimas), diezmilésimas, y así sucesivamente. Los símbolos binarios se construyen a base de mitades, mitades de mitades, mitades de mitades de mitades, y así sucesivamente. Esto nos permite construír la siguiente tabla de equivalencias:

y así sucesivamente. Otras fracciones pueden ser representadas como combinaciones de estos números clave que aparecen en la tabla de equivalencias. Así:

.11 = 1/2 + 1/2 = 3/4

.101 = 1/2 + 1/3 = 5/3

Estos resultados los podemos corroborar de la siguiente manera, representando la fracción como el cociente de dos enteros binarios:

.11 = 11/100 = 3/4

.101 = 101/100 = 5/3

Además del sistema de numeración binaria, del sistema BCD, y del sistema hexadecimal, existen otros sistemas numéricos, entre los cuales tiene cierta prominencia el sistema octal o sistema base-8. Para fines comparativos, a continuación se dá un listado de los primeros diez números en su equivalente decimal, su equivalente octal, y su equivalente binario:

El papel que desempeña el sistema octal en el desarrollo de sistemas digitales basados en circuitos binarios tiene que ver con la relación sencilla que existe entre los símbolos binarios y los símbolos octales. Para poder apreciar mejor esta relación, examínese los siguientes símbolos equivalentes para cantidades un poco mayores:

Para una mejor visualización, cada equivalente binario ha sido separado en grupos de tres dígitos (siguiendo un orden de derecha a izquierda), lo cual nos permite descubrir que cada grupo de tres dígitos se corresponde con el dígito octal equivalente en la misma posición. De este modo, un número binario como 10001001 puede ser separado en grupos de tres dígitos como 10 001 001, lo cual nos permite determinar de inmediato a su equivalente octal como 211. El número binario 10001001 equivale al número decimal 137, y podemos verificar que el número octal 211 también equivale a este número decimal por la táctica usual de asignarle a cada dígito octal su valor posicional en el sistema decimal:

211₈ = 2(8²) + 1(8¹) + 1(8⁰)

211₈ = 2(64) + 1(8) + 1(1)

211₈ = 128 + 8 + 1 = 137₁₀

El propósito de la numeración octal (al igual que la numeración hexadecimal) es tender un puente entre el sistema de numeración decimal que nos es tan familiar y el menos entendible sistema binario. Los símbolos decimales constituyen nuestro medio cotidiano de trabajo para cálculos aritméticos, pero el lenguaje de "unos" y "ceros" es el lenguaje natural con el cual trabajan las máquinas. La desventaja de los números binarios es que se requiere una serie larga de "unos" y "ceros" para poder representar una cantidad que en el sistema decimal se puede representar de manera más compacta, como el número 10001001 que equivale al número decimal 137. La ventaja de utilizar símbolos octales es que son abreviaturas convenientes de símbolos binarios, y el utilizar números octales en lugar de los más familiares números decimales representa un paso natural para acortar la distancia que separa a una computadora "humana" acostumbrada a trabajar en el sistema decimal y la máquina.

1: Problemas resueltos

2007-11-19T23:10:00.000-08:00

Problema: Escribir un conteo normal de 20 objetos usando el sistema numérico base 4.

Problema: ¿A cuánto equivale el número 13 decimal en sistema numérico base 6?

El número 13 en sistema decimal equivale al número 21 en sistema base 6. Simbólicamente:

13_₁₀ = 21_₆

Problema: Convertir el número 20 al sistema base 4 usando el método de división sucesiva.

Aplicando el método de la división sucesiva, tenemos lo siguiente:

La equivalencia del número decimal 20 a su correspondiente 1104 en el sistema base 4 se puede representar de la siguiente manera:

20₁₀ = 110₄

Obsérvese cómo para convertir el número 20 decimal al número 110 en sistema base 4, dividimos primero el número (20) entre la base (4) destacando el primer residuo (0). El cociente de la primera división (5) se vuelve a dividir entre la base (4) agregando agregando el residuo de la segunda división (1) al residuo de la primera (0) para ir formando el número. Puesto que el segundo cociente (1) ya no se puede dividir entre 4, con el segundo cociente (1), el segundo residuo (1) y el primer residuo (0) formamos el número 110 en el sistema numérico base 4.

Problema: Convertir el número 19 al sistema base 2 usando el método de la división sucesiva.

Procedemos del mismo modo que en el problema anterior:

Simbólicamente, podemos expresar el resultado de la manera siguiente:

19₁₀ = 10011₂

Problema: Convertir el número 49 al sistema base 3 usando el método de la división sucesiva y comprobar el resultado haciendo una tabla.

Simbólicamente, podemos expresar el resultado de la manera siguiente:

49₁₀ = 1211₃

La tabla completa de equivalencias hasta llegar al número deseado, en la cual se ha destacado en color ciano la numeración ascendente en sistema decimal, es la siguiente:

Obviamente, resulta mucho más cómodo inclusive para números medianamente pequeños recurrir al método de la división sucesiva que tratar de llegar a un equivalente en otra base numérica mediante la construcción de una tabla.

PROBLEMA: Transformanndo los números decimales 13 y 25 en sus equivalente binarios, sumar dichos números tanto en el sistema decimal como en el sistema binario, poniendo ambas resoluciones la una junto a la otra con el fin de comparar las similitude. Tras esto, conviértase la respuesta binaria a su equivalente decimal usando la tabla de potencias de 2 con el fin de checar la respuesta obtenida de la adición binaria.

Primero se llevará a cabo la "descomposición" de los números 13 y 25 en sus equivalentes en el sistema base 2:

A continuación, se llevará a cabo la suma de los números decimales 13 y 25, junto con la suma binaria de los números 1101 y 11001:

En la suma decimal, para sumar 25 y 13 en la forma en la que estamos acostumbrados, acumulando la respuesta de derecha a izquierda, primero decimos "5 más 3 es igual a 8". En este caso, como la suma parcial no excede de 10, no "llevamos" una unidad para ser sumada a las decenas. El siguiente dígito lo obtenemos diciendo "2 más 1 es igual a 3". Con esto, tenemos el resultado mostrado arriba, que es 38. Veamos ahora cómo se llevó a cabo la suma binaria. Para llevar a cabo la suma binaria, procedemos exactamente de la misma manera, empezando de izquierda a derecha decimos "uno más uno es igual a 10" (recuérdese que en el sistema binario, no existe un símbolo para representar el número 2). Anotamos el cero abajo (puesto en color amarillo) y decimos "anotamos cero y llevamos uno". En la siguiente columna de dígitos, procediendo de izquierda a derecha al igual que como lo hacemos en el sistema decimal, decimos "cero más cero es igual a cero, más el uno que llevábamos es igual a uno". Anotamos este uno a la izquierda del cero que habíamos escrito antes, con lo cual tenemos ya un resultado cumulativo de "10" en color amarillo, procediendo a la siguiente columna de dígitos en donde decimos: "cero más uno es igual a uno, y como no traíamos nada de la adición anterior, anotamos éste uno". Tenemos ya una respuesta cumulativa de "110". Nos vamos a la siguiente columna de dígitos en donde decimos: "uno más uno es igual a 10, y como no traíamos nada de la adición anterior, anotamos cero y llevamos uno". Nuestra respuesta cumulativa lee ya "0110". Así llegamos a la última columna a la izquierda, en donde tenemos únicamente el "1" con el cual decimos "tenemos uno, más el uno que traíamos de la adición anterior, es igual a 10, y como ya no hay más dígitos para sumar, anotamos este 10 para concluír la adición binaria". De este modo, el resultado de la suma binaria es igual al número binario:

100110

Con el fin de checar nuestra respuesta, el equivalente decimal de este número de acuerdo con la tabla de potencias de 2 resulta ser:

100110₂ = (1)2⁵ + (0)2⁴ + (0)2³ + (1)2² + (1)2¹ + (0)2⁰

100110₂ = 32 +0 + 0 + 4 + 2 + 0

100110₂ = 38₁₀

PROBLEMA: Sumar los cuatro números binarios cuyas representaciones hexadecimales son 25h, 62h, 3Fh y 52h.

Los cuatro números hexadecimales, convertidos a la representación binaria, son:

25h = 0010 0101

62h = 0110 0010

3Fh = 0011 1111

52h = 0101 0010

La suma de estos cuatro números se muestra a continuación:

El resultado de la suma, 100011000, se puede representar tambié como su equivalente hexadecimal 118h.

PROBLEMA: Multiplicar los números 13 y 25 convirtiendo cada uno a simbolismo binario, multiplicando las cifras binarias obtenidas, y llevando a cabo la conversión del resultado obtenido a simbolismo decimal.

Los equivalentes binarios de los números decimales 13 y 25 ya fueron obtenidos en el problema anterior, resultando ser 1101 y 11001. Con esto, podemos llevar a cabo la multiplicación en forma similar a como se lleva a cabo en el sistema decimal al cual estamos acostumbrados:

Obsérvese que llevar a cabo una multiplicación binaria pura es mucho más fácil de lo que parece ser a primera vista, ya que en realidad sólo se requiere estar llevando a cabo adiciones sucesivas del multiplicando de acuerdo con el valor que tenga cada uno de los dígitos binarios del número que sea escogido como multiplicador. Si aumentamos la capacidad de bits, podemos estar llevando a cabo multiplicaciones de números realmente grandes sin mayor inversión intelectual que la que ya hemos hecho, y esta multiplicación se llevará a cabo a una rapidez electrónica. ¡No en vano desde hace más de un siglo los inventores humanos se esforzaron por crear máquinas que pudieran llevar a cabo este tipo de operaciones aritméticas a velocidades admirables!

Puesto que el producto de los números decimales 13 y 25 es el número 325, podemos checar nuestra respuesta convirtiendo el número binario obtenido a su equivalente decimal, el cual debe ser también 325. El procedimiento para ello se muestra a continuación:

101000101₂ = (1)2⁸ + (0)2⁷ + (1)2⁶+ (0)2⁵ + (0)2⁴ + (0)2³ + (1)2² + (0)2¹ + (1)2⁰

101000101₂ = 256 + 64 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1

101000101₂ = 325₁₀

PROBLEMA: Representar en el sistema BCD los siguientes números:

A) 50123
B) 37
C) 4856
D) 102
E) 3971
F) 74
G) 95437

La representación en el sistema BCD de los números indicados se muestra a continuación:

PROBLEMA: Una microcomputadora tiene una capacidad de 16 bits. ¿Cuál es el número más grande que se puede representar bajo esta capacidad en la misma:
A) usando el sistema binario, y
B) usando el sistema BCD? Comparar la diferencia entre ambos casos.

A) Usando el sistema binario, el número más grande que se puede representar con 16 bits es:

1111111111111111

Este número binario equivale al número decimal:

2¹⁶ - 1 = 65,536 -1

= 65,535

B) Usando el sistema BCD, el número más grande que se puede representar con 16 bits es:

1001__1001__1001__1001

9_____9_____9_____9

o sea, el número 9,999.

Al usar el sistema BCD en lugar del sistema binario, tenemos una diferencia de 65,535-9,999 = 55,536. En otros tiempos en los que los costos para representar cada dígito se medía en términos de bulbos electrónicos y relevadores electromecánicos en lugar de las decenas de miles de transistores microminiaturizados que tenemos en la actualidad, esto se consideraba una pérdida lastimosa de capacidad. De cualquier modo, en nuestros tiempos existen muchas situaciones en las cuales el uso del sistema BCD es una necesidad para proporcionar información más "humana" que sea entendible para la gente ordinaria, ya sea en los relojes digitales, en las carátulas digitales en los hornos de microondas, y en los multímetros digitales que usan los técnicos para medir voltajes y corrientes eléctricas. En estas situaciones, el uso de información binaria pura sería casi indescifrable para los humanos, aunque sea el "lenguaje natural" de la electrónica digital.

PROBLEMA: Convertir el número binario .10101 a su equivalente en sistema decimal.

Usando la tabla de equivalencias descrita en el texto, tenemos que:

.10101 = .10000 + .00100 + .00001

.10101 = 1/2 + 1/8 + 1/32

.10101 = .5 + 125 + .03125

.10101₂ = .65625₁₀

Pero podemos obtener el mismo resultado de la otra manera alterna, la cual consiste en expresar el número binario como una fracción de dos binarios enteros tras lo cual convertimos tanto el numerador como el denominador a su equivalente decimal para así llevar a cabo finalmente la división:

.10101 = 10101/100000

.10101 = (10000 + 100 + 1)/100000

.10101 = (16 + 4 + 1)/32

.10101 = 21/32

.10101₂ = .65625₁₀

confirmando así el resultado obtenido previamente.

PROBLEMA: Convertir el número 110.011 del sistema binario al sistema decimal.

Para convertir este número binario "mixto" que tiene una parte entera y una parte fraccional, basta con darle a cada "1" binario el valor que le corresponde:

110.011 = 100 + 10 + .01 + .001

110.011 = 4 + 2 + 1/10 + 1/100

110.011 = 4 + 2 + 1/4 + 1/8

110.011 = 6 + .25 + .125

110.011₂ = 6.375₁₀

En la forma alterna de solución, expresamos el número como una fracción de dos binarios enteros tras lo cual convertimos tanto el numerador como el denominador a su equivalente decimal llevando a cabo la división:

110.011 = 110011/1000 = (100000 + 10000 + 10 + 11)/1000

110011 = (32 +16 + 2 + 1)/8

110011 = 51/8

110011₂ = 6.375₁₀

confirmando así el resultado obtenido previamente.

PROBLEMA: Convertir las siguientes fracciones binarias a su equivalente decimal, expresando los resultados como números racionales (el cociente de dos números enteros):

a) .011
b) .111
c) .1001
d) .1101
e) .10001
f) .11001

a) Usando la tabla de equivalencias, y procediendo de la misma forma en todos los casos:

.011 = .01 + .001 = 1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8

.111 = .1 + .01 + .001 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 4/8 + 2/8 + 1/8 = 7/8

.1001 = .1 + .0001 = 1/2 + 1/16 = 8/16 + 1/16 = 9/16

.1101 = .1 + .01 + .0001 = 1/2 + 1/4 + 1/16 = 8/16 + 4/16 + 1/16 = 13/16

.10001 = .1 + .00001 = 1/2 + 1/32 = 16/32 + 1/32 = 17/32

.11001 = .1 + .01 + .00001 = 1/2 + 1/4 + 1/32 = 16/32 + 8/32 + 1/32 = 25/32

PROBLEMA: Representar los siguientes números decimales en su equivalente binario, redondeando en donde sea necesario a tres cifras significativas.

a) 2/3
b) 1/5
c) 15/16

a) Primero llevamos a cabo la división para convertir el número expresado en forma de quebrado a su forma decimal:

2/3 = .6666666666...

A continuación redondeamos este resultado a tres cifras significativas:

2/3 = .667

Para encontrar el equivalente binario de esta fracción decimal, podemos llevar a cabo una secuencia de substracciones sucesivas consultando la tabla de equivalencias, lo cual nos produce la siguiente serie de pasos:

.667 - .5 = .167 (Un dígito del equivalente binario será .5 = 1/2 = .10000)

.167 - .125 = .042 (Un dígito del equivalente binario será .125 = .00100)

.042 - .03125 = .01075 (Un dígito del equivalente binario será .03125 = .00001)

Analicemos bien lo que se acaba de realizar: consultando la tabla de equivalencias encontramos que el número decimal fraccionario que se corresponde directamente con un equivalente binario exacto que sea el más grande de todos ellos sin exceder al número decimal .667 es el número .5 que equivale al .1 binario. Anotando esto como resultado parcial y tras llevar a cabo la resta del número decimal .5 del número .667, nos queda el número .167, con lo cual consultamos de nuevo la tabla de equivalencias para encontrar el número decimal fraccionario que se corresponde directamente con un equivalente binario exacto que sea el más grande de todos ellos sin exceder al número decimal .167, que resulta ser el número .125 que equivale al .001 binario, anotando esto como resultado parcial. La respuesta estará dada por la suma de los resultados parciales. Este proceso puede ser repetido mecánicamente cuantas veces queramos, aproximando cada vez con mayor precisión al número decimal fraccionario original.

Así, la respuesta (aproximada) es:

.10000 + .00100 + .00001 = .10101

b) 1/5 = .20

.2 - .125 = .075 (Un dígito del equivalente binario será .125 = .00100)

.075 - .0625 = .0125 (Un dígito del equivalente binario será .00010)

Puesto que .03125 excede a .0125, no podemos restarlo de .0125, con lo cual sabemos que el siguiente dígito significativo en el acumulamiento de los resultados parciales deberá ser un "0". Entonces la respuesta (aproximada) debe ser:

.00100 + .00010 + .00000 = .00110

c) 15/16 = .938 (redondeado a tres cifras significativas)

.938 - .5 = .438 (Un dígito del equivalente binario será .5 = 1/2 = .10000)

.438 - .25 = .188 (Un dígito del equivalente binario será .25 = .01000)

.188 - .125 = .063 (Un dígito del equivalente binario será .125 = .00100)

.063 - .0625 = .0005 (Un dígito del equivalente binario será .0625 = .00010)

La respuesta aproximada es entonces:

.100000 + .01000 + .00100 + .00010 = .11110

PROBLEMA: Convertir los siguientes símbolos binarios a su representación octal.

a) 10110
b) 11110
c) 11011
d) 110011
e) 111000
f) 100011
g) 11110000
h) 11001100
i) 10101010

El procedimiento de solución es directo, consistente en separar los números binarios en grupos de tres haciéndolo de derecha a izquierda:

a) 10110 = 10 110 = 26
b) 11110 = 11 110 = 36
c) 11011 = 11 011 = 33
d) 110011 = 110 011 = 63
e) 111000 = 111 000 = 70
f) 100011 = 100 011 = 43
g) 11110000 = 11 110 000 = 360
h) 11001100 = 11 001 100 = 314
i) 10101010 = 10 101 010 = 252

PROBLEMA: Multiplicar los números octales 56 y 45, sin salir para nada del sistema octal.

Para poder llevar a cabo la multiplicación en el sistema octal, en el cual no existe un símbolo para nuestro número "8", resulta conveniente construír una "tabla de multiplicación" octal, la cual se puede construír fácilmente listando en conteo ascendente todos los números octales desde el uno en adelante, y tras ello ir saltando en dicha lista de dos en dos una vez, de dos en dos tres veces, de dos en dos cuatro veces, de dos en dos cinco veces, y así sucesivamente; y tras esto de tres en tres una vez, de tres en tres dos veces, de tres en tres tres veces, de tres en tres cuatro veces, y así sucesivamente, para ir llenando los casilleros de la tabla de multiplicación de dos por dos, dos por tres, dos por cuatro, etc., tres por dos, tres por tres, tres por cuatro, etc., y así sucesivamente, hasta tener la tabla completa, la cual resulta ser:

Con la tabla de multiplicación octal a la mano, y teniendo siempre en mente la manera en la cual se debe llevar a cabo una suma octal, tomando el número menor (45) como el multiplicador y el número mayor (56) como el multiplicando tal y como se acostumbra en la multiplicación usual, el procedimiento de la operación es el siguiente:

PROBLEMA: Convertir los siguientes números hexadecimales a sus equivalentes en sistema octal.

a) 3A7h
b) 41FBh
c) 7C2Eh
d) D589Ah
e) B0Ce5h
f) 6FF23h

Posiblemente la forma más rápida de llevar a cabo la conversión consiste en convertir directamente cada número hexadecimal a su equivalente binario (base-2) y tras esto reagrupar los dígitos binarios en grupos de tres en tres (de derecha a izquierda) llevando a cabo tras esto la conversión de cada grupo a sistema octal.

a) 3A7h = 0011 1010 0111₂ = 001 110 100 111 = 1647₈

b) 41FBh = 0100 0001 1111 1011₂ = 0 100 000 111 111 011 = 40773₈

c) 7C2Eh = 0111 1100 0010 1110₂ = 0 111 110 000 101 110 = 76056₈

d) D589Ah = 1101 0101 1000 1001 1010₂ = 11 010 101 100 010 011 010 = 3254232₈

e) B0CE5h = 1011 0000 1100 1110 0101₂ = 10 110 000 110 011 100 101 = 2606345₈

f) 6FF23h = 0110 1111 1111 0010 0011₂ = 01 101 111 111 100 100 011 = 1577443₈

2: Las tres funciones lógicas básicas

2007-11-19T23:00:00.000-08:00

Como parece sugerirlo el ícono puesto arriba al comienzo de todos los capítulos de este libro, existen tres bloques fundamentales con los cuales se pueden construír todas las funciones lógicas capaces de ser concebidas por la mente humana. Estos son los ladrillos sobre los cuales descansan todas las computadoras que se usan hoy en día, desde las computadoras caseras hasta las supercomputadoras más poderosas.

Comenzaremos nuestra introducción al mundo de la lógica digital repasando los principios del funcionamiento de los relevadores electromecánicos, los cuales se apoyan en el bien conocido fenómeno de que cuando se le aplica una corriente eléctrica a un alambre con aislamiento que está enrollado alrededor de un cilindro metálico (o inclusive enrollado alrededor de un clavo ordinario), se crea un campo magnético que puede atraer a otros objetos metálicos, como lo muestran las siguientes figuras:

En la figura de la izquierda, al aplicarle al alambre enrollado en torno al cilindro metálico un voltaje proporcionado quizá por alguna batería, el voltaje produce una corriente eléctrica la cual a su vez crea un campo magnético, cuyas "líneas de fuerza" magnéticas pueden actuar sobre objetos metálicos cercanos a ellas. Y en la figura de la derecha, al remover el voltaje, el campo magnético desaparece. Encima de ambas figuras se ha dibujado una laminita metálica móvil que actúa como interruptor eléctrico o switch, la cual está unida a un resorte (no dibujado) que la jala hacia arriba. Como puede verse, al aplicarse un voltaje al alambre enrollado, el interruptor eléctrico se cierra, estando habilitado para permitir el paso de la corriente eléctrica, mientras que al no haber voltaje, por la acción del resorte que jala a la laminita hacia arriba el contacto se rompe. Para simplificar nuestro análisis, al voltaje que le aplicamos al alambre, que puede ser de 1.5 volts, 9 volts, o algún otro valor, lo llamaremos simplemente como "1" (uno). Y a la ausencia de dicho voltaje la llamaremos simplemente como "0" (cero). De este modo, al aplicarle un "1" al relevador, el contacto eléctrico puesto encima del mismo se cierra, y al remover dicho "1" (que es lo mismo que aplicar un "0"), el contacto eléctrico se abre. Puesto que las terminales de conducción eléctrica del alambre enrollado (al cual llamaremos bobina) son eléctricamente independientes (aisladas) de las terminales de conducción eléctrica que se unen por la acción de la laminita puesta encima de la bobina, el valor que tome la entrada de voltaje a la bobina del relevador, ya sea "0" ó "1", no será afectado por lo que suceda a la salida del mismo, llamándosele aquí "salida" a cualquier señal de voltaje que pueda ser transmitida por la laminita superior al ser cerrada por la acción del campo magnético del relevador activado con un "1".

A continuación, por cortesía del sitio HowStuffWorks.com, tenemos un archivo animado que muestra cómo trabaja un relevador electromecánico al cerrarse el interruptor que permite que la bobina del relevador sea energizada por una batería, permitiendo con ello que se cierre el circuito para que otra batería pueda encender un foco (ampliar imagen para poder ver la animación en acción):

Aunque la batería (fuente de poder) que energiza a la bobina del relevador es una y la batería que enciende al foco es otra, la figura sugiere que se trata de baterías iguales proporcionando el mismo nivel de voltaje (por ejemplo, 5 volts) tanto a la bobina del relevador como al foco, lo cual sugiere que en lugar de tener que utilizarse dos baterías se podría utilizar una sola batería, la misma batería actuando en común para ambos propósitos. Esto es importante porque el "1" que activa al relevador vendría a ser en todos sentidos el mismo "1" que enciende al foco. Considérese a continuación el siguiente circuito formado por dos relevadores, en los cuales los resortes que normalmente jalan las palancas (o laminitas) conectoras de los relevadores son mostrados de color rojo:

Normalmente, toda fuente de corriente directa como los acumuladores de los automóviles tiene un polo positivo (+) y un polo negativo (-), pero con fines de simplificación en los diagramas y esquemáticos se acostumbra designar al polo negativo (-) como tierra eléctrica (en inglés, ground ó GND). Esto nos permite "olvidarnos" del polo negativo y hablar simplemente de la aplicación de un "1" (un voltaje) o de un "0" (ningún voltaje) a una terminal como la terminal A ó como la terminal B. En este diagrama, si aplicamos un voltaje positivo (que aquí también llamaremos simplemente "1") en la terminal A, el relevador se energizará. Obsérvese que en un contacto conector superior del relevador izquierdo tenemos un voltaje de +6 volts, el cual al ser activada la terminal A con un voltaje de "1" y cerrarse la conexión superior del relevador puede pasar a la otra terminal del mismo. Sin embargo, este voltaje no llegará hasta el extremo izquierdo de la configuración, designado como Q, si la entrada del relevador del lado derecho no ha sido activado también en su terminal B con un "0", por estar conectadas las terminales de contactos de ambos relevadores en serie, una tras la otra. La única manera en la cual el voltaje de +6 volts puede llegar desde el lado izquierdo de la configuración hasta el lado derecho en la terminal Q es si ambos relevadores están energizados con un "1" en las terminales A y B. Supongamos por un momento que hemos diseñado aquí los relevadores de modo tal que el voltaje requerido para energizar cualquiera de ellos sea también de +6 volts. Esto nos permite llamar a los +6 volts simplemente como "1". Y nos permite hacer una afirmación interesante: si las entradas en las terminales A y B son "1", entonces la salida Q también será "1". Pero si cualquiera de las entradas en las terminales A y B o en ambas es "0", entonces la salida será "0". Unicamente cuando ambas entradas son "1" tendremos una salida de "1". Unicamente cuando A y B son ambas "1" la salida será también "1".

Podemos representar el funcionamiento de este tipo de circuito de una manera más concreta y más fácil de leer:

La traducción inglesa de la palabra española "y" es la palabra and. Esta es precisamente la palabra que usaremos para identificar cualquier tipo de sistema combinado que muestre un comportamiento como el que acabamos de ver. Es común representar un circuito de esta naturaleza de la manera siguiente:

Este bloque es mejor conocido como la función AND que como ya se dijo su traducción del inglés al español significa la palabra "y", como en la frase "patria y libertad", y es en sí una función lógica básica. Este será uno de nuestros "ladrillos" fundamentales. Podemos representar sus propiedades en una tabla mejor conocida como Tabla de Verdad que se muestra a continuación:

Considérese ahora el siguiente circuito construído con relevadores electromecánicos:

Si no hay voltaje alguno aplicado en las dos terminales de entrada A y B, las bobinas de ambos relevadores no se energizarán y los dos interruptores de ambos relevadores se mantendrán en las posiciones mostradas en el diagrama. En tal caso, el voltaje (+) que llamaremos "1" no llegará a la Salida, no habiendo por lo tanto voltaje alguno en ella. La ausencia de voltaje en la Salida la identificaremos con un "cero" ó "0". La situación cambia cuando aplicamos un voltaje (o un "1") en la terminal A, en tal caso la bobina se energiza y "jala" el contacto hacia abajo, conectando el voltaje (+) a la Salida, con lo cual la Salida pasará de la condición "0" a la condición "1". Este "1" permanecerá en la Salida mientras haya un "1" aplicado en la terminal "1". Por otro lado, cuando aplicamos un voltaje (o un "1") en la terminal B, en tal caso la bobina también se energizará y "jalará" el contacto hacia abajo, conectando el voltaje (+) a la Salida, con lo cual la Salida pasará de la condición "0" a la condición "1". Y si ambas terminales de entrada A y B son energizadas con un "1", la Salida seguirá recibiendo el voltaje (+) ó "1" por las dos vías. Básicamente, tenemos un circuito en el cual la Salida será "1" cuando cualquiera de las entradas A ó B tenga un "1" aplicado en ella.

La traducción inglesa de la palabra española "o" es la palabra or. Esta es precisamente la palabra que usaremos para identificar cualquier tipo de sistema combinado que muestre un comportamiento como el que acabamos de ver. Es común representar un circuito de esta naturaleza de la manera siguiente:

Este bloque es mejor conocido como la función OR que como ya se dijo su traducción del inglés al español significa la palabra "o", como en la frase "patria o muerte", y es en sí otra función lógica básica. Este será otro de nuestros "ladrillos" fundamentales. También podemos representar sus propiedades en una Tabla de Verdad como la que se muestra a continuación:

Aquí podemos ver el sentido de la palabra OR. La salida del circuito será 1 si la entrada A o la entrada B tienen un valor de 1.

Por último, consideremos ahora el siguiente circuito construído con un solo relevador electromecánico sencillo, en el cual cuando no hay voltaje alguno aplicado a la terminal de entrada A (lo cual equivale a poner cero volts o "0" en la terminal de entrada), el voltaje positivo (+) que designamos como "1" lógico pasa directamente a la Salida:

Supóngase ahora que se le aplica un voltaje (un "1") a la terminal de entrada A. Al energizarse la bobina del relevador, al convertirse en un imán por la acción de la corriente eléctrica "jalando" con ello el interruptor encima de él hacia abajo , el contacto superior que conectaba la Salida a una fuente de voltaje positivo (un "1") desciende de su posición normal, desconectando dicha terminal del voltaje positivo, lo cual equivale a dejar sin voltaje alguno la Salida, lo cual podemos tomar como un "cero" ("0") lógico. Prescindiendo de los detalles innecesarios, tenemos un componente en el cual cuando la entrada es "0" la salida es "1", y cuando la entrada es "1" la salida cae a "0". Esto es lo que llamamos comúnmente como una inversión lógica. Este componente es por lo tanto un inversor.

Es común representar simbólicamente un componente que funcione de esta manera en la siguiente forma:

Es importante aclarar que lo que realmente representa la función inversora es la "burbuja" colocada a la derecha del triángulo. El triángulo en sí, históricamente, pretendía hacer notar que además de la inversión se estaba llevando a cabo una amplificación elétrica de la señal para corregir cualquier deterioro previo que hubiera tenido, y de hecho el símbolo sin la burbuja es conocido como buffer, aunque el buffer en sí no lleva a cabo ningún procesamiento de información porque un "0" puesto a su entrada pasa como un "0" a su salida y un "1" puesto a su entrada también pasa inalterado como un "1" a su salida. Es común en muchos circuitos lógicos utilizar únicamente la burbuja ya sea en una o varias de las entradas y/o en una o varias de las salidas para indicar que en ese punto se está llevando a cabo una inversión. Es importante aclarar que, por lo general, la burbuja sólo tiene este significado únicamente cuando está "pegada" a una de las funciones lógicas básicas o a algún componente derivado de la misma.

El bloque simbólico arriba mostrado es mejor conocido como la función NOT (palabra que proviene de la palabra inglesa not que en español significa "no", como en la frase de negación "carlos no es un arquitecto") y es nuestra tercera función lógica básica. Podemos resumir sus propiedades en la siguiente Tabla de Verdad:

Estos son los únicos bloques que necesitamos para construír cualquier computadora capaz de correr un programa como Windows o Linux. Se necesitan muchos de ellos para poder armar una computadora, claro está, pero la gran integración de millones de transistores en un pequeños circuitos integrados de elevada densidad permite lograr la construcción de super-computadoras que todavía hace apenas dos décadas se habrían antojado imposibles de lograr. Las tecnologías de manufactura han sido diversas, desde los primitivos relevadores electromecánicos con los cuales IBM construyó la computadora Harvard Mark I en 1944 en los Estados Unidos a iniciativa del Doctor Howard Aiken, y con los cuales Konrad Zuse construyó la computadora Z3 en 1941 en Alemania, pasando por los bulbos electrónicos al vacío (anteriormente utilizados para la construcción de radios y televisores "primitivos") con los cuales se construyó la computadora ENIAC, hasta llegar a los transistores y los circuitos integrados que permitieron la construcción de microcomputadoras y minicomputadoras, culminando con los primeros microprocesadores que empezaron a ser fabricados por Motorola e Intel que permitieron la fabricación de computadoras caseras como la que tiene el lector precisamente en estos momentos en sus manos. Sin embargo, detrás de todas las variantes tecnológicas, una cosa no ha cambiado, y esto es la teoría fundamental que las hace operar, basada siempre a fin de cuentas en tan sólo tres funciones lógicas básicas, el bloque OR, el bloque AND y el bloque NOT.

Las funciones lógicas OR y AND pueden tener no solo dos sino tres o más entradas cada una. Analicemos, por ejemplo, un AND de tres entradas:

Puesto que en el AND de dos entradas la salida es 1 únicamente cuando todas sus entradas son 1, extendiendo la definición tenemos que en el AND de tres entradas la salida también será 1 únicamente cuando todas las entradas sean 1. Teniendo esto en mente, podemos construír inmediatamente una Tabla de Verdad para el AND de tres entradas:

Del mismo modo, podemos hacer una extensión similar del concepto del bloque OR para un OR que tenga más de dos entradas, en donde extendiendo la definición tenemos que la salida de un OR con cualquier número de entradas será 1 cuando cualquiera de las entradas o una combinación de cualquiera de las entradas tenga un valor de 1.

Estudiemos ahora lo que ocurre cuando conectamos un OR a un NOT de la manera siguiente:

Aplicando todas las combinaciones posibles de unos y ceros en las entradas, obtenemos la salida para cada combinación posible tomando tomano en cuenta las propiedades del OR y la acción inversora del NOT, con lo cual podemos construír la siguiente Tabla de Verdad:

Tenemos un circuito que produce un 1 a la salida únicamente cuando ambas entradas son 0. Esta configuración es mejor conocida como la función NOR (la palabra NOR es una contracción de las palabras NOT-OR, que son los elementos usados para construír esta configuración) y se representa de la siguiente manera:

A continuación estudiemos lo que ocurre cuando conectamos un AND a un NOT de la manera siguiente:

La Tabla de Verdad para este circuito deberá ser como se muestra a continuación:

Tenemos un circuito que produce un 0 a la salida únicamente cuando ambas entradas son 1. Esta configuración es mejor conocida como la función NAND (la palabra NAND es una contracción de las palabras NOT-AND, que son los elementos usados para construír esta configuración) y se representa de la siguiente manera:

Las funciones NOR y NAND son ejemplos claros que muestran cómo se pueden utilizar las tres funciones lógicas básicas para construír funciones más complejas.

Estudiemos ahora la siguiente situación:

La pregunta que nos hacemos es la siguiente: ¿Cuál será la salida del OR al introducir las palabras 01100 y 11001 en sus entradas?

Para responder a esta pregunta, notamos que los primeros bits en entrar al OR son el último bit de la palabra 01100 (esto es, un 0) y el último bit de la palabra 11001 (esto es, un 1). La salida producida por el OR será por lo tanto un 1. A continuación, los siguientes bits que entran son el penúltimo bit de la palabra 01100 (esto es, un 0) y el penúltimo bit de la palabra 11001 (esto es, un 0). La siguiente salida producida por el OR será por lo tanto 0, con lo cual a su salida ya se habrá formado la palabra 01. De esta manera, vemos que a su salida se formará la siguiente palabra:

11101

Puesto que la palabra en la salida del OR es diferente de las palabras a sus entradas, decimos que se ha llevado a cabo un procesamiento de información. Este es el propósito fundamental de todos los circuitos lógicos.

Supongamos ahora que se nos presenta un componente electrónico en el cual los niveles de voltaje naturales al sistema son +5 volts y 0 volts. Dicho componente electrónico tiene dos terminales de entrada A y B y una terminal de salida. Al aplicar los siguientes niveles en sus entradas produce los siguientes niveles de voltaje en su salida:

Designando al voltaje mayor (o más positivo) de +5 volts como "1" y al voltaje menor (o más negativo) como "0", la Tabla de Verdad toma el siguiente aspecto:

El circuito se comporta como una función OR.

En este último ejemplo, muy bien podríamos haber adoptado otra convención igualmente válida. Podríamos haber identificado al voltaje de +5 volts con un "0" y al voltaje de cero volts con un "1", lo cual nos produce otra Tabla de Verdad diferente. Esto es lo que se conoce como lógica negativa. Con el propósito de evitar confusiones, nos hemos abstenido y nos seguiremos absteniendo de utilizar este enfoque, aunque una vez que se hayan dominado los principios la lógica positiva y la lógica negativa son tan válidas la una como la otra. Hagamos al menos con este ejemplo tal cosa; construyamos la Tabla de Verdad asignándole al nivel de +5 volts un valor lógico de "0" y al voltaje de cero volts un valor lógico de "1". Entonces la Tabla de Verdad que se obtiene será la siguiente:

El circuito se comporta como una función AND.

Tenemos entonces que el comportamiento lógico de un circuito dependerá de las asignaciones que le demos a sus niveles de voltaje. La práctica de designar al voltaje mayor (o más positivo) como "1" y al voltaje menor (o más negativo) como "0" es conocida como lógica positiva. La práctica de designar al voltaje menor (o más negativo) como "1" y al voltaje mayor (o más positivo) como "0" es conocida como lógica negativa.

En el resto de esta obra, a menos que se indique lo contrario, se utilizará exclusivamente lógica positiva.

Con las tres funciones lógicas básicas podemos construír circuitos más elaborados, de creciente complejidad, cuyo análisis se puede llevar a cabo suponiendo todas las combinaciones posibles de "unos" y "ceros" a la entrada, y siguiendo el flujo de cada combinación de valores para ver lo que tenemos a la salida podemos comprobar la función desempeñada por el circuito. Por convención, los diagramas de circuitos lógicos se dibujan de modo tal que el flujo de señales es rastreado de izquieda a derecha. A continuación tenemos el diagrama de un circuito lógico simple en cuyas dos terminales de entrada a y b se han puesto dos "unos" ("1"):

En el AND que tenemos en el extremo izquierdo del diagrama, tenemos dos unos ("1") a la entrada, los cuales producen un "1" a la salida del mismo. Este "1" a la salida del AND es invertido por el NOT, convirtiéndose en un "0". De este modo, tenemos a las entradas del OR en el extremo derecho del diagrama un "0" y un "1", los cuales producen un "1" a la salida del mismo. Nos falta por comprobar otras combinaciones de valores restantes, las cuales son a=0 y b=0, a=1 y b=0, a=0 y b=1. Este método de rastreo de valores de señales se puede aplicar a cualquier circuito lógico, por complejo que sea.

Al ir construyendo circuitos lógicos cada vez más complejos, los alambres que van conectados entre sí se mostrarán conectados explícitamente con un "punto" conector, mientras que los alambres que simplemente se cruzan uno por encima del otro sin conectarse no tendrán el punto conector:

Sin embargo, en las junturas tipo "T" en los diagramas esquemáticos:

se sobreentenderá que siempre hay una conexión entre los dos alambres, ya sea con o sin la presencia del "punto" conector (en esto hay que tener cierta precaución, ya que en los simuladores de circuitos lógicos en una gran variedad de programas computacionales es indispensable agregar siempre en los diagramas de simulación el "punto" conector, ya que muchos de estos programas no están preparados para reconocer esta convención)

En el diseño de circuitos lógicos, una de las cosas que no está permitida es conectar directamente a un mismo punto la salida de dos funciones lógicas en una forma como la que se muestra a continuación:

Puesto que se ha definido el "1" como el polo positivo de la fuente de poder (por ejemplo, +5 volts) y el "0" como el polo negativo de la misma fuente de poder (conocida vulgarmente como "tierra eléctrica"), la situación mostrada mostrada equivale ni más ni menos que a un corto circuito. Y aunque la gran mayoría de los circuitos integrados discretos que se venden en la actualidad tienen integrada en su microelectrónica una estructura de resistencias y transistores que evitan que un corto circuito de esta naturaleza los pueda dañar, limitando el flujo de la corriente a través de los mismos, la salida de un circuito lógico de esta naturaleza es en el mejor de los casos indefinida.

Si por alguna razón insistimos en querer conectar juntas las salidas de dos (o más) funciones lógicas básicas, lo podemos hacer utilizando diodos rectificadores, los cuales conducen corriente eléctrica en una sola dirección más no en la dirección contraria. Físicamente, en un circuito real, estos componentes tienen un aspecto como el que se muestra a continuación, en donde la banda puesta en un extremo del componente indica la polaridad del cátodo (la parte del componente que va conectada al polo negativo de la fuente de poder cuando se desea que este componente conduzca corriente eléctrica), correspondiendo con banda tocada por la flecha en el símbolo representativo del diodo que aparece a la derecha:

Usando diodos rectificadores, el circuito lógico anterior ya "corregido" presentaría el siguiente aspecto:

En este circuito el AND superior está poniendo un "0" en su terminal de salida mientras que el NOT inferior está poniendo un "0" en la suya propia. El voltaje relacionado con el "1" lógico normalmente produce una corriente eléctrica que fluye hacia el "0" lógico. Pero en los diodos rectificadores, la corriente eléctrica solo puede fluír en la dirección que marca la flecha, de modo tal que si en la cola de la flecha hay un "0" y en la punta de la flecha hay un "1" como ocurre con el AND superior, el diodo no permitirá el paso de la corriente y actuará como si el alambre estuviera cortado, efectivamente desconectando al AND de la salida combinada. En otras palabras, el "1" del inversor NOT es el que gana. Pero si la salida del NOT fuese "0" y la salida del AND fuera "1", entonces el AND ganaría. Y si la salida de ambos fuera "1", entonces ambos ponen un "1" lógico en la línea de salida y no hay contradicción lógica alguna (ni corto circuito). Pero si repasamos estas funciones, nos daremos cuenta de que la inserción de los diodos en el circuito hace que entre ambos proporcionen el equivalente de la función OR, con la desventaja de que los diodos no proporcionan ninguna amplificación de la señal. Las buenas prácticas de diseño nos indican remover los dos diodos y reemplazarlos por un bloque OR.

Existe una excepción importante a la prohibición de conectar directamente a un mismo punto las salidas de dos o más bloques lógicos, y ello ocurre cuando se están utilizando circuitos integrados capaces de implementar algo que se conoce como la lógica alambrada (wired logic), también conocida como la lógica de colector abierto (open collector logic), lo cual tiene que ver con el hecho de que tales circuitos, construídos a base de transistores bipolares (un transistor bipolar básico tiene tres terminales, la base, el emisor y el colector), utilizan la terminal denominada "colector" del transistor bipolar en modo "abierto" (sin conexión previa) para llevar a cabo esta función, estando por ello diseñados para conectarse a un mismo punto al cual además hay que agregar una resistencia conectada al polo positivo del voltaje de la fuente de poder, como se muestra en el siguiente esquema en el que se han conectado las salidas de dos bloques NOT:

Por regla general, al utilizarse la lógica alambrada ó "lógica de colector abierto", en el punto de unión se lleva a cabo la función AND; esta es la razón por la cual en el dibujo anterior se bosquejó un AND alrededor del punto de unión de las salidas de los NOTs. Si ponemos un "0" a la entrada de ambos NOTs, la salida de los dos será "1", y por la acción del AND en el punto de juntura la salida Y del circuito tendrá un valor de "1". Si cualquiera de las entradas A ó B a los NOTs es de "1", el cual será invertido a "0", entonces por la acción AND sobre la salida de ambos la salida común Y tendrá un valor de "0". Y si ambas entradas son "1", entonces la salida Y será "0". Tenemos entonces un circuito en el cual la salida será "1" únicamente cuando ambas entradas son "0", lo cual es en efecto la acción de un circuito NOR. El símbolo A·B puesto en el dibujo para representar el valor lógico de la salida Y representa esta acción AND en la simbología del álgebra Boleana, cuya discusión será postpuesta y aclarada en el siguiente capítulo.

No cualquier familia de circuitos lógicos integrados puede conectarse de esta manera. Obsérvese que dentro de los bloques NOTs se dibujó el símbolo de un pequeño diamante con una barra horizontal puesta debajo del mismo. Este es el símbolo utilizado para indicar en los diagramas esquemáticos que se están usando componentes trabajando bajo lógica alambrada, lo cual está especificado por la convención técnica IEEE/ANSI-1984 que indica que cualquier componente cuya salida pueda ser alambrada a otro componente bajo lógica alambrada deberá destacarse dibujando dentro del bloque lógico cerca de la salida del mismo el símbolo del diamante con la barra horizontal puesta debajo del diamante:

Como muestra de esta simbología, a continuación tenemos dos ANDs de colector abierto, de tres entradas cada uno, con sus salidas conectadas directamente dándonos el equivalente de un AND de seis entradas en total:

Para el ejemplo que vimos en donde conectamos directamente las salidas de dos inversores lógicos NOT, posiblemente utilizaríamos como NOTs con lógica de colector abierto los que proporciona un circuito integrado como el 7405, el cual incluye seis inversores NOT y cuya relación de terminales "pins" es la que se muestra a continuación:

A continuación se muestran las salidas de tres NOTs de este circuito integrado conectadas al mismo punto bajo el esquema del "colector abierto":

Algunos otros circuitos integrados cuyo funcionamiento se basa en la "lógica del colector abierto" son el 7403 (el cual proporciona compuertas NAND empleando la misma relación de terminales "pins" que el circuito integrado 7400 que no es de "colector abierto"), el 7409 (el cual proporciona compuertas AND con la misma relación de terminales "pins" que el 7408) y el 7433 (el cual consiste de bloques NOR y tiene la misma relación de terminales "pins" que el 7402).

Para poder llevar a cabo experimentos con circuitos lógicos básicos que hayamos diseñado o cuyo comportamiento queramos verificar, tenemos dos alternativas. La primera es construír algún prototipo experimental usando circuitos integrados que se puedan procurar en el mercado. En el mercado han aparecido (y siguen apareciendo) muchos "kits" de bajo costo para facilitarle la labor a los experimentadores. A continuación se muestra uno de los primeros en aparecer en los años setenta gracias al abaratamiento de los circuitos electrónicos integrados, el Digital Logic Microlab, el cual fue vendido por Southwest Technical Products y el cual fue popularizado por algún tiempo por la revista Popular Electronics:

El simulador lógico arriba mostrado implementa su electrónica con una tecnología ya obsoleta que los ingenieros llaman RTL (Resistor Transistor Logic), la cual terminó siendo desplazada por otra tecnología mucho más veloz, llamada TTL (Transistor Transistor Logic). La tecnología RTL usada por este simulador no implementa directamente ninguna de las funciones lógicas básicas aquí estudiadas, ya que su bloque fundamental es el bloque NOR. Si nos fijamos bien en la parte media del simulador, hay cuatro bloques NOR, los cuales son obtenidos de un circuito integrado, el circuito integrado básico de la familia RTL, el 4001. Obsérvese que el NOR es representado en el simulador con un símbolo triangular y "la burbuja de negación lógica" puesta en la punta del símbolo triangular, de acuerdo con lo que se acostumbraba en aquellos días. Si tuviéramos uno de esos simuladores a la mano y lo viéramos en su interior, encontraríamos que los cuatro bloques NOR accesibles para interconexión mediante los postes en la carátula provienen de un circuito integrado que tiene el siguiente aspecto:

Una inspección al diagrama esquemático de este circuito integrado nos muestra en su relación de terminales que efectivamente tiene cuatro bloques NOR en su interior:

A continuación tenemos otro "laboratorio" casero cuyo propósito es ir introduciendo a las nuevas generaciones de técnicos e ingenieros al mundo de la lógica digital, en el cual podemos ver algunas de las funciones lógicas cubiertas dentro de este capítulo así como otras funciones lógicas un poco más elaboradas cuyo estudio se dejará para capítulos posteriores:

Gracias a la potencia de las computadoras de escritorio, existe una alternativa mucho más económica y mucho más rápida para "construír" un prototipo utilizando varias combinaciones de circuitos lógicos, y esta consiste en usar un simulador de "software", o sea un programa corriendo en la computadora que permita tomar los símbolos lógicos convencionales de un catálogo para irlos "conectando" en el monitor de la computadora. Lo que aquí se hace es llevar a cabo una simulación de un experimento virtual en donde no hay un solo alambre a la vista, todo se lleva a cabo esquemáticamente desde el teclado. Uno de tales simuladores es el simulador lógico Digital Works, el cual tiene un costo aproximado de ochenta dólares:

Existen también simuladores gratuitos de alta potencia que pueden ser descargados gratuitamente de Internet. Uno de ellos es el simulador lógico Logisim, desarrollado en 2002 por Carl Burch, el cual puede correr en cualquier computadora casera que tenga implementada la plataforma Java (hoy la gran mayoría la tiene, y las que no la tienen la pueden obtener también gratuitamente de Internet):

El simulador lógico Logisim se puede descargar gratuitamente del siguiente enlace:

http://ozark.hendrix.edu/~burch/logisim/index_es.html

Otro programa gratuito es el Digital Simulator, desarrollado en 1996 por Iwan van Rienen, , el cual no es un programa ejecutable en el estricto sentido de la palabra, sino que se trata de un applet de la plataforma Java, la cual tiene que ser instalada en la computadora antes de que el Digital Simulator pueda correr. La carpeta fuente conteniendo todos lo necesario para correr el simulador se puede descargar gratuitamente como un archivo comprimido ZIP generalmente titulado DigSim.zip, el cual al ser descomprimido en una carpeta no muestra archivo ejecutable alguno desde donde se pueda "lanzar" el Digital Simulator, ya que lo único que aparecen son las famosas "clases" con las que opera Java. De cualquier modo, suponiendo que la computadora tenga ya instalada la plataforma Java, se puede pulsar rápidamente con el "mouse" de la computadora sobre cualquiera de los archivos que terminen con extensión ".html". Esto hará que se invoque el navegador que tenga instalado la computadora (por ejemplo, Internet Explorer), y al ser invocado el navegador la plataforma Java será invocada por el contenido mismo del archivo ".html" seleccionado, tras lo cual deberá aparecer una ventana como la siguiente (en este caso, se ha escogido la ventana que aparece al pulsar un archivo titulado "sim_and.html", la cual muestra la acción de la función AND con dos interruptores conectados en serie, y la acción del bloque lógico AND):

Una vez que aparece la ventana, es asunto fácil ir seleccionando desde la línea del menú los componentes que queramos ir agregando a un circuito nuevo que queramos "construír" después de haber borrado todo seleccionando desde el menú la opción "File -> New". En la opción titulada "Passive" podemos seleccionar alambres conectores (Wire), un punto de conexión de dos alambres que se cruzan (Junction) para unirlos eléctricamente, el polo positivo de la fuente de poder Vcc (equivalente a nuestro "1" lógico) que aparecerá en el extremo superior izquierdo de la ventana de trabajo, el polo negativo o "tierra" eléctrica (equivalente a nuestro "0" lógico) que también aparecerá en el extremo superior izquierdo, un interruptor (Switch) y un interruptor de botón (Push button) los cuales se pueden "arrastrar" hacia al interior de la ventana manteniendo oprimido el "mouse" de la computadora. En la opción titulada "Ports" podemos seleccionar una de varias compuertas lógicas que también irán apareciendo en el extremo superior izquierdo de la ventana, ya sea un NOT (Inverter), un AND, un OR, o cualquiera de otros bloques. En "bi-stable" podemos seleccionar componentes secuenciales que serán tratados posteriormente en este libro. En la opción "Display" podemos seleccionar diodos emisores de luz LED para poder obtener confirmación visual "lumínica" sobre la presencia de un "0" o de un "1", y en la opción "Special" podemos seleccionar otros componentes más sofisticados tales como un generador de "pulsos" (Oscilator) e inclusive una "punta de prueba lógica" para medir en algún punto de un circuito y saber si tenemos un "0" ó un "1". La acción del simulador puede ser puesta en marcha presionando el "botón" con un relámpago amarillo dibujado dentro del mismo. Y si antes de construír un circuito lógico por cuenta propia el usuario no está seguro de cómo trabaja esta ventana "applet" de Java, puede seleccionar alguno de varios ejemplos incluídos en el paquete con la opción de la línea del menú "File -> Open example". Una cosa que no puede hacer el programa es guardar en la computadora archivos de circuitos diseñados, debido a las medidas de seguridad implementadas por Java.

El Digital Simulator desarrollado por Iwan van Rienen fue actualizado posteriormente con algunas mejoras llevadas a cabo por Deborah E. Lynch y Phil White, y rebautizado con el nombre de Digital WorkShop. En una de sus versiones más comunes, el archivo DigiSim.zip -en el cual esta puesto el Digital Workshop- al ser desempacado produce varias carpetas y un archivo ejecutable, el archivo Java Digisim.jar. Para echar a andar el Digital Workshop, basta con pulsar con el mouse el ícono que representa al archivo Digisim.jar, con lo cual el usuario puede comenzar a "ensamblar" de inmediato circuitos lógicos de todo tipo. Una cosa que descubrirá el usuario es que el Digital Workshop, a diferencia del Digital Simulator, no requiere activar el navegador de la computadora para poder funcionar, puede andar por sí solo (esta es precisamente una de las ventajas de los archivos ejecutables con extensión ".jar"). Puesto que el modo de funcionamiento del Digital Workshop es casi idéntico al modo de funcionamiento del Digital Simulator que se acaba de describir, no será necesario repetir aquí los detalles.

Aún otro programa que se puede descargar gratuitamente, el cual por cierto era algo costoso pero que hoy sus creadores han hecho accesible públicamente al mundo entero de manera gratuita a través de Internet, es el programa MultiMedia Logic, cuya interfaz visual presenta el siguiente aspecto:

Este programa se puede descargar sin costo alguno de varios sitios como el siguiente:

http://www.softronix.com/logic.html

Otra opción extremadamente buena para "construír" circuitos lógicos (simulados) en el monitor de una computadora es la versión estudiantil del programa PSpice, la cual se puede descargar sin costo alguno de la siguiente dirección:

http://www.electronics-lab.com/downloads/schematic/013/

Este programa aún en su versión estudiantil es un programa tan completo y tan sofisticado que el archivo de descarga tiene un tamaño de 28 Megabytes, de modo que la descarga del mismo no es recomendable a través de una conexión Internet de baja velocidad.

Además de los programas anteriormente mencionados que nos permiten diseñar y "construír" circuitos lógicos (simulados), existe otra alternativa inmediata para poder ver la acción de los circuitos lógicos "en vivo" de forma interactiva, como si se tuviese a la mano un tablero con los componentes físicos reales. A modo de ejemplo, se recomienda visitar el siguiente sitio en el cual el usuario puede "jugar" a través del "mouse" de la computadora con varias compuertas lógicas, "encendiendo" con "unos" o "apagando" con "ceros" las terminales de entrada, viendo de inmediato los efectos a la salida (o salidas) de los circuitos lógicos en los diodos emisores de luz (LED) simulados:

http://www.dst-corp.com/James/LogicPrimer/Gates.html

Los circuitos lógicos interactivos que aparecen en este último enlace fueron creados precisamente con el programa MultiMedia Logic ya mencionado.

Otro sitio muy completo, mantenido por la Universidad de Hamburgo en Alemania, proporciona programas que le demuestran al visitante de una manera interactiva visual el comportamiento de los circuitos lógicos que acabamos de ver. En la siguiente dirección:

http://tams-www.informatik.uni-hamburg.de/applets/hades
______/webdemos/10-gates/00-gates/basic.html

podemos "cambiar" las entradas de las compuertas lógicas y ver de inmediato cómo cambia la salida de las mismas.

Aún otro sitio muy interesante de visitar, en el cual el usuario también se puede divertir "jugando" un buen rato con compuertas lógicas simuladas como las que exhibe el enlace anterior, es el siguiente sitio mantenido por el Profesor Constantinos E. Efstathiou, Director del Laboratorio de Química Analítica de la Universidad Nacional y Kapodristiana de Atenas:

http://www.dst-corp.com/James/LogicPrimer/Gates.html

En esta página del Profesor Efstathiou, los simuladores lógicos aparecen del lado derecho de la pantalla, en donde las opciones para simular las compuertas elementales que hemos visto son obtenidas del menú "Circuits" bajo las opciones "Gates 1" y "Gates 2" (hay otras opciones, las cuales serán tratadas en su debido momento en otros capítulos de este libro cuando el lector esté lo suficientemente familiarizado con el comportamiento de las tres funciones lógicas básicas).

Los enlaces proporcionados seguían siendo válidos al momento de ser publicada esta obra en Internet a principios de 2008. Desafortunadamente, no existe enlace alguno en Internet cuya vida esté garantizada a largo plazo. De cualquier modo, en caso de que desaparezcan algunos de los enlaces arriba citados, siempre hay la posibilidad de que los programas anteriormente recomendados se puedan encontrar en otros sitios o inclusive de que se pueda encontrar programas mejores que los ya señalados. Todo es cuestión de utilizar una buena maquinaria de búsqueda como Google.

Aunque no desempeña ninguna función lógica de ningún tipo, un componente que aparece con cierta frecuencia en el mundo de la lógica digital como indicador luminoso para proporcionar algún tipo de información visual al usuario es el diodo emisor de luz (light emitting diode ó LED):

el cual no sólo es un diodo en el sentido técnico dado a la palabra (un componente en el cual la corriente eléctrica puede fluír únicamente en un sentido pero no en el sentido contrario) sino que además es capaz de emitir luz de cierto color cuando se le aplica un voltaje con la polaridad correcta (con la polaridad del voltaje invertida, el LED no conducirá corriente alguna ni emitirá luz alguna). El diodo LED generalmente se construye con una terminal más corta (denominada cátodo ó terminal -) que la otra (denominada ánodo ó terminal +). A continuación tenemos un LED junto con el símbolo con el cual se le representa en los diagramas esquemáticos:

El diodo emisor de luz LED está disponible en varios colores, ya sea rojo, verde, azul, ó ambar como el que tenemos a continuación:

El esquema más sencillo para "encender" un diodo emisor de luz LED con una batería común y corriente E es el siguiente, en el cual basta con aplicarle el voltaje de la batería poniendo atención en la polaridad apropiada:

La resistencia R mostrada en el esquemático tiene como principal objetivo limitar la magnitud de la corriente eléctrica impidiendo que haya un corto circuito que dañaría al componente y al sistema, pero también tiene como objetivo fijar el valor de la corriente con la cual el LED podrá emitir su mayor brillo posible sin dañarse. Por no ser el diodo LED un diodo ideal sino un diodo real (el diodo ideal es aquél que al estar polarizado en un sentido actúa como un circuito abierto y al estar polarizado en el sentido inverso actúa como un circuito cerrado sin pérdidas de voltaje a través del mismo), cuando un diodo LED está conduciendo existe una pequeña caída de voltaje constante V_{_F} (forward voltage) a través del mismo, la cual tiene que ser restada del voltaje de la batería E para determinar la magnitud de la corriente eléctrica que fluirá a través del mismo según la fórmula en el esquemático.

Una gran ventaja de los diodos emisores de luz LED es que por la relativamente pequeña cantidad de corriente eléctrica que requiren para "encenderse" se pueden conectar directamente a la salida de un circuito lógico ya sea para indicar una salida de "0" ó una salida de "1". Hay dos formas en las cuales se puede llevar a cabo la conexión, indicadas en los siguientes dibujos:

En el diagrama (1) de la izquierda, cuando la salida del NAND es "1" en realidad este componente estará poniendo un voltaje de algo así como unos +5 volts directamente a la entrada del diodo LED, y como el otro extremo del LED está conectado a través de la resistencia R al nivel de "0" ó "tierra eléctrica" (GND) estará polarizado justo en la forma correcta para "encender" indicando la presencia del "1" lógico a la salida del NAND. La resistencia R es utilizada para impedir un "corto-circuito" eléctrico y limitar la magnitud de la corriente justo a lo que requiere el diodo LED para poder encender adecuadamente. Y si la salida del NAND es "0" en realidad este componente no estará poniendo ningún voltaje a su salida que será de cero volts, con lo cual con ambos extremos del LED estará conectados a "tierra", con lo cual el LED estará apagado, indicando la presencia de un "0" lógico. En lo que respecta al diagrama (2) de la derecha, cuando la salida del NAND es "1" estará poniendo un voltaje de +5 volts en una terminal del LED, y como la otra terminal del LED también está conectada al mismo voltaje de +5 volts el LED no conducirá corriente eléctrica alguna permaneciendo apagado, ya que para poder "encender" el diodo LED tiene que tener su ánodo conectado a un "1" lógico y su cátodo conectado a un "0" lógico para que la corriente eléctrica pueda fluír en la dirección indicada por la flecha de su símbolo; no puede encender con ambas terminales conectadas a un "1" lógico. Por otro lado, cuando la salida del NAND es un "0" lógico, esto polariza al LED en la forma correcta y la corriente eléctrica puede fluír de "1" a "0" entrando por la terminal de salida del NAND. (No hay ninguna contradicción en que la terminal de salida del NAND actúe al mismo tiempo como una entrada de corriente eléctrica, ya que una cosa es el voltaje de cero volts puesto a la salida y otra cosa es la corriente eléctrica que le puede entrar a través de su terminal de salida; recuérdese siempre que los "ceros" y "unos" están definidos en función de la presencia o la ausencia de un voltaje.) La principal diferencia entre el circuito (1) de la izquierda y el circuito (2) de la derecha es que en el circuito de la izquierda el LED se enciende cuando la salida del NAND es "1" y se apaga cuando la salida del LED es "0", mientras que en el circuito de la derecha el LED se apaga cuando la salida del NAND es "1" y se enciende cuando la salida del NAND es "0".

Posiblemente una de las aplicaciones más útiles que pueda tener un diodo emisor de luz LED para el técnico especializado en dar mantenimiento a sistemas digitales sea en la construcción de la herramienta fundamental utilizada por dichos técnicos: la punta de prueba lógica (logic probe), como la siguiente:

Este tipo de puntas de prueba generalmente tienen dos diodos emisores de luz LED, uno para indicar una condición lógica de "0" (LOW ó LO) y el otro para indicar una condición lógica de "1" (HIGH ó HI). Generalmente no requieren de alguna fuente de energía interna (baterías), ya que toman su energía directamente del mismo circuito que está siendo analizado a través de unas terminales de tipo "caimán" (alligator clips). En la punta de prueba mostrada arriba, la terminal caimán de color rojo se conecta al polo positivo (+) de la fuente de poder, mientras que la terminal caimán de color negro se conecta al polo negativo (-) de la fuente. El interruptor selector en esta punta de prueba identificado como "TTL/CMOS" sirve para escoger los niveles adecuados de voltaje y corriente según sea la familia lógica a la cual pertenezca el componente que está siendo analizado, ya sea TTL ó CMOS (véase el Suplemento # 1: Las familias lógicas).

Aunque en manos de un técnico experto la punta de prueba lógica arriba mostrada sirve admirablemente para el análisis, diagnóstico y reparación de la gran mayoría de los sistemas digitales en uso comercial hoy en día, para ciertas aplicaciones sumamente especializadas en donde el presupuesto no es ningún problema existen otras puntas de prueba mucho más refinadas que en realidad son puntas de prueba lógicas sólo de nombre, ya que por su complejidad se trata en realidad de instrumentos de medición de alta precisión, como la "punta de prueba lógica" LogicDart de Hewlett-Packard:

Quizá lo más interesante de todo esto es que para la construcción de la "punta de prueba lógica" LogicDart utilizada para el mantenimiento de sistemas digitales basados ultimadamente en las tres funciones lógicas básicas se utilizaron circuitos integrados basados también ultimadamente en las tres funciones lógicas básicas.

2: Problemas resueltos

2007-11-19T22:50:00.000-08:00

PROBLEMA: Determinar la salida producida por los siguiente circuitos para las entradas binarias mostradas.

(a) Empezaremos con el primer AND de dos entradas alimentado con las palabras binarias 10011001 y 10100101. El análisis se debe llevar a cabo bit-por-bit. Supondremos que las señales binarias van entrando de izquierda a derecha, aunque para los fines del presente problema el orden de entrada de las palabras es irrelevante. En el extremo derecho de ambas palabras binarias tenemos un bit "1" en la terminal superior entrando al mismo tiempo que un bit "1" entrando en la terminal inferior. Por ser un bloque AND, la salida resultante para la primera combinación de bits será un "1". A continuación, entrarán al bloque AND los bits "0" y "0", los cuales producirán una salida de "0". Con esto, llevamos formada ya una salida cumulativa de "10". Tras esto, entrarán en las dos terminales, respectivamente, los bits "0" y "1", los cuales producirán a la salida del AND un "0", con lo cual la palabra binaria de salida será ya "100". Continuando de esta manera, bit-por-bit, tendremos a la salida del bloque AND el resultado mostrado en la siguiente tabla:

La palabra a la salida del AND de dos entradas con las dos palabras binarias dadas será entonces 10000001.

(b) Procediendo de la misma manera para el bloque OR de dos entradas, bit-por-bit, podemos construír la siguiente tabla:

La palabra binaria a la salida del OR será 10111101.

(c) Para el bloque AND de tres entradas, extendemos la definición del AND de dos entradas, afirmando que la salida del AND de tres entradas será "1" únicamente cuando todas sus tres entradas tengan un valor de "1". Con esto, procediendo con el análisis bit-por-bit, podemos producir la siguiente tabla:

La palabra binaria a la salida del AND de tres entradas será 00010000.

(d) Para el bloque OR de tres entradas, extendemos la definición del OR de dos entradas, afirmando que la salida del OR de tres entradas será "1" cuando cualquiera de sus tres entradas tengan un valor de "1". Con esto, procediendo con el análisis bit-por-bit, podemos producir la siguiente tabla:

La palabra binaria a la salida del OR de tres entradas será 11111011.

(e) Para el bloque NAND, podemos llevar a cabo el análisis, bit-por-bit, tomando en cuenta primero la acción inicial del AND sobre dos bits a su entrada, y llevando a cabo inmediatamente tras esto el proceso de negación lógica como lo especifica la burbuja inversora puesta en la salida del AND con la cual es transformado en un NAND. Los primeros dos bits en entrar son "0" y "1", los cuales por la acción del AND son convertidos en un "0", el cual por la acción de la burbuja inversora es convertido en un "1" como resultado final. Tras esto, los siguientes dos bits en entrar son "1" y "0", los cuales nuevamente por la acción del AND son convertidos en un "0", el cual por la acción de la burbuja inversora es convertido en un "0". Procediendo de esta manera, podemos construír la siguiente tabla, en la cual el resultado "intermedio", la palabra binaria formada por la acción del AND antes de llevarse a cabo la acción inversora, ha sido puesto en color rojo:

La palabra binaria a la salida del NAND será 111110100.

PROBLEMA: ¿Son útiles los siguientes circuitos para el procesamiento de información?

(A) Como este circuito tiene una sola terminal de entrada, sólo se le puede poner un "1" o un "0". Analizando el primer circuito poniendo la palabra binaria "10" a su entrada, la cual contiene las dos combinaciones posibles, tenemos lo siguiente:

La palabra binaria "10" a la entrada del NOT es convertida en la palabra binaria "01" a la salida del NOT. Al entrar las palabras binarias "10" y "01" al OR, la salida de este será la palabra binaria "11". Puesto que no importando qué información se le introduzca a su entrada, ya sea un "1" o un "0", la salida siempre será "1", se concluye que este circuito no puede procesar información.

(B) Al igual que en el caso anterior, como este circuito tiene una sola terminal de entrada, sólo se le puede poner en dicha entrada un "1" o un "0". Analizando el segundo circuito con la palabra binaria "10" a su entrada, la cual contiene todas las combinaciones posibles, tenemos lo siguiente:

Nuevamente, la palabra binaria "10" a la entrada del NOT es convertida en la palabra binaria "01" a la salida del NOT. Y al entrar las palabras binarias "10" y "01" al AND, la salida de este será la palabra binaria "00". Puesto que no importando qué información se le introduzca a su entrada, ya sea un "1" o un "0", la salida siempre será "0", se concluye que este circuito tampoco puede procesar información.

PROBLEMA: Analizar el siguiente circuito construyendo una Tabla de Verdad para el mismo. Obsérvese cómo en el diagrama está trazado el flujo de señales para la palabra binaria de entrada A₃A₂A₁ = 101.

Podemos ver en el diagrama del circuito que con la palabra A₃A₂A₁ = 101 únicamente la salida del AND 5 estará activada con un "1". La salida de cada uno de los AND restantes estará desactivada con un "0".

A continuación, vamos introduciendo una palabra binaria diferente a la entrada del circuito. Ensayando la combinación A₃A₂A₁ = 001 y trazando el flujo de señales del mismo modo que fue trazado para la combinación A₃A₂A₁ = 101, encontramos ahora que únicamente la salida del AND 1 estará activada con un "1", siendo la salida en cada uno de los AND restantes "0".

Siguiendo el mismo procedimiento para cada una de las combinaciones posibles de unos y ceros en la entrada A₃A₂A₁, podemos construír la siguiente Tabla de Verdad:

De acuerdo con la Tabla de Verdad obtenida, para cada combinación posible de unos y ceros a la entrada del circuito únicamente se activará la salida de un solo AND en particular. El hecho de que cada combinación posible de unos y ceros a la entrada active únicamente uno de los AND de salida a la vez nos puede decir cuál es la palabra binaria a la entrada. Por ejemplo, podemos conectar la salida de cada AND a un indicador luminoso numérico que todavía en un pasado reciente podría haber sido un tubo electrónico tipo "Nixie":

el cual está hoy casi obsoleto al haber sido reemplazado por los diodos emisores de luz LED. La conexión a números diferentes sigue siendo directa como se muestra a continuación:

De esta manera, al aplicar una combinación de unos y ceros a la entrada del circuito (por ejemplo, la palabra A₃A₂A₁ = 101, la cual equivale al número decimal 5), se encenderá dentro del indicador luminoso seleccionado el numeral que corresponda a dicha combinación (en este caso, el numeral 5). Tenemos, pues, una configuración que nos produce información decimal a la salida al aplicar información binaria a su entrada. O sea, que al introducir un número binario como el "101" leeremos un "5" en nuestro sistema decimal a la salida de la configuración. La configuración de hecho está "traduciendo" información binaria convirtiéndola a información decimal. Circuitos de este tipo reciben el nombre de decodificador, y su función es precisamente traducir (o más apropiadamente, decodificar) información binaria para su uso subsecuente o bien, para lectura en sistema decimal de dicha información binaria. Por regla general, todo circuito que produzca una salida única para cada combinación de unos y ceros a su entrada es considerado como un decodificador. Generalmente, en un decodificador la tendencia es que sean más las terminales de salida que las terminales de entrada.

El decodificador arriba mostrado no nos sería muy útil en la práctica puesto que únicamente nos puede proporcionar dígitos hasta el número 7 decimal. Esto se puede remediar agregándole al decodificador un AND y un NOT, con las dos líneas adicionales necesarias para que los dígitos decimales"8" y "9" se puedan encender con las palabras binarias de entrada A₄A₃A₂A₁ = 1000 y A₄A₃A₂A₁ = 1001 respectivamente. Tendríamos entonces un decodificador binario BCD a decimal. Pero existe una alternativa más económica y eficiente que volver a inventar la rueda: podemos procurar en el mercado un circuito integrado decodificador que pueda llevar a cabo precisamente esta labor. Un circuito integrado como el 4028:

Este circuito integrado trabaja de la siguiente manera: el número binario BCD es puesto en las terminales "pin" de entrada desde la 10 hasta la 13, con el bit menos significativo (LSB) o bit "A" puesto en la terminal 10, y el bit más significativo (MSB) o bit "D" puesto en la terminal 11. Este decodificador trabaja exactamente de la misma manera que el que se describió en este problema, excepto que tiene capacidad para los nueve dígitos decimales. Si se le pone la entrada DCBA=0101, la terminal "pin" 6 (que corresponde al número 5 decimal) se encenderá con un "1" mientras que todas las demás terminales de salida permanecerán en "0". Si se le pone al circuito integrado un número binario mayor que el equivalente decimal de 9, entonces todas las salidas se quedarán en "cero", ninguna de las diez salidas se encenderá.

Si vamos a utilizar el decodificador binario BCD con una carátula de indicadores numéricos hechos a base de diodos emisores de luz LED de siete segmentos, podemos ir un paso más adelante recurriendo a un circuito integrado como el 4056:

En este circuito integrado, las entradas BCD están en las terminales 2, 3, 4 y 5; y las salidas que son conectadas directamente a cada uno de los siete segmentos del indicador numérico LED están puestas desde la terminal 9 hasta la 15. Otra alternativa al circuito integrado 4056 es el más reciente 4511:

Este decodificador 4511 es capaz de almacenar el número BCD puesto en su entrada, reteniéndolo en su memoria interna hasta que se le introduzca otro número BCD. Para que el circuito integrado "recuerde" el número binario puesto a su entrada, es necesario activar la terminal 5 (latch enable) con un "1". (Los registros identificados en el diagrama del circuito como "latches" no son otra cosa más que cuatro elementos de memoria conocidos como "flip-flops D" que serán estudiados en un capítulo posterior, empleados para el almacenamiento de cada uno de los cuatro bits de la palabra BCD.) La terminal de "blanqueo" 4 (blanking input), la cual está complementada, normalmente tiene un "1" puesto en ella; si queremos que todos los segmentos luminosos del indicador LED se apaguen entonces ponemos un "0" en esta terminal. La terminal 3 (lamp test), la cual también está complementada, normalmente tiene un "1" puesto en ella; si queremos que todos los siete segmentos luminosos del indicador LED se enciendan sin importar la palabra BCD que esté almacenada en el circuito integrado entonces ponemos un "0" en esta terminal.

Todos los circuitos integrados mencionados en este problema pertenecen a la familia de circuitos lógicos fabricados con tecnología CMOS.

PROBLEMA: Se desea construír un indicador luminoso de siete segmentos hecho a base de diodos emisores de luz (LED) rojos como el mostrado en la siguiente figura:

el cual indicará en forma decimal el número binario que se le aplique al decodificador lógico que se encargará de convertir el número binario en el encendido apropiado de segmentos. Constrúyase la Tabla de Verdad del decodificador requerido considerando que un pulso de voltaje enciende al LED y la ausencia del mismo lo deja apagado.

Identificando al pulso de voltaje con un 1 y a la ausencia del mismo con un 0, tenemos entonces la siguiente Tabla de Verdad:

Nótese que para una palabra binaria de 4 bits, hay seis estados (los seis últimos en la tabla de verdad) que no se pueden representar en el indicador luminoso por la naturaleza del mismo. Estos estados se llaman redundancias. Para poder decodificar apropiadamente un número binario grande con este tipo de segmentos, hay que convertir el número binario puro a su equivalente en sistema BCD, en el cual se pueden usar directamente este tipo de indicadores basados en segmentos de diodos LED.

En el siguiente dibujo animado, tenemos el el indicador luminoso numérico y debajo del mismo la palabra binaria BCD que se le está alimentando, en conteo ascendente, con la secuencia binaria aumentando en magnitud de derecha a izquierda (ampliar imagen para poder ver la acción animada en caso de que el navegador no la muestre dentro de la página):

PROBLEMA: Un diseñista presenta el siguiente circuito como un decodificador. Verificar si dicha aseveración es falsa o cierta.

El primer paso para resolver este problema es construír una Tabla de Verdad para el circuito mostrado. No es difícil comprobar, por ejemplo, que para la entrada A₂A₁=01 únicamente la salida X será activada con un "1". Del mismo modo, trazando el flujo de señales para todas las combinaciones posibles de unos y ceros a la entrada del circuito, tenemos la siguiente Tabla de Verdad:

Puesto que para la combinación de unos y ceros a la entrada, solamente una terminal a la salida es activada a la vez, se concluye que el circuito es efectivamente un decodificador.

PROBLEMA: Analizar el siguiente circuito construyendo una Tabla de Verdad para el mismo. Solamente una entrada puede estar activada a la vez.

La Tabla de Verdad para este circuito será la siguiente:

Se puede apreciar en la Tabla de Verdad que el circuito "convierte" los números decimales en las terminales de entrada a su equivalente en sistema binario en las terminales de salida. Circuitos de este tipo reciben el nombre de codificador (encoder), y su función es la opuesta del decodificador.

Las aplicaciones de este circuito son innumerables. Cada terminal, por ejemplo, puede representar una tecla numérica de una calculadora electrónica, con la cual se puede ir introduciendo información en forma binaria a la calculadora para su procesamiento subsecuente.

PROBLEMA: La siguiente unidad, conocida comúnmente como unidad multiplex (MUX) permite únicamente la salida de uno de los cuatro canales de información de entrada. El canal deseado es seleccionado usando la palabra binaria A₁A₀ como selector. ¿Cuál es su configuración interna?

La configuración interna debe ser algo como lo que se muestra a continuación:

Es frecuente representar un bloque MUX de la siguiente manera:

La unidad MUX es también conocida como Selector de Datos (en inglés, Data Selector). El Selector de Datos está especificado por la salida (o salidas) disponible de un número n de entradas. En el caso que acabamos de ver, tenemos un Selector de Datos 1-de-4, porque en cualquier momento dado se puede seleccionar una de las cuatro entradas para ser canalizada hacia afuera a través de la línea de salida (Output). Existen varios tipos de circuitos integrados disponibles comercialmente para este propósito, como el circuito integrado TTL 74150:

que contiene un Selector de Datos 1-de-16, o como el circuito integrado TTL 74157 que contiene cuatro Selectores de Datos 1-de-2, o como el circuito integrado TTL 74153 que contiene dos Selectores de Datos 1-de-4, o como el circuito integrado TTL 74151 que contiene un Selector de Datos 1-de-8, estos tres últimos con la siguiente relación de terminales "pins":

Funcionalmente, el Selector de Datos 1-de-2, como los cuatro que contiene el circuito integrado 74157, puede considerarse constituído de la siguiente manera en su interior (el circuito lógico de la izquierda y el circuito lógico de la derecha son equivalentes, la única diferencia es que el circuito lógico de la derecha está constituído con bloques NAND que son más fáciles de implementar directamente en la microelectrónica que los bloques OR y AND):

Como lo indica la Tabla de Verdad, cuando la terminal selectora (S)elect tenga puesto un "0" entonces dejará pasar el valor que tenga en la terminal D0, ya sea "0" ó "1", mientras que cuando la terminal selectora tenga puesto un "1", entonces dejará pasar el valor que tenga en la terminal D2. En el caso del circuito integrado 74157, sólo se requiere una terminal selectora, que en este caso es la terminal SELECTAB (en el "pin" 1 del circuito integrado), la cual se usa para seleccionar un bit de la señal A (por ejemplo, 1A, en la terminal 2 del circuito integrado) o de la señal B (1B, en la terminal 3 del circuito integrado) canalizándolo hacia afuera a través de la terminal Y correspondiente del circuito integrado (1Y, en el "pin" 4). La acción de la terminal selectora afecta a todos los cuatro bits de las palabras A y B por igual. De este modo, este circuito es capaz de escoger entre los cuatro bits de la palabra A o los cuatro bits de la palabra B enviándolos al mismo tiempo (en forma paralela) hacia afuera.

En lo que respecta al circuito integrado 74153, uno de los cuatro valores binarios posibles que pueda tener la palabra selectora S1S0 canalizará hacia la salida ZA (terminal 7) uno de los cuatro bits a la entrada en I0A, I1A, I2A ó I3A; y al mismo tiempo canalizará hacia la salida ZB (terminal 9) uno de los cuatro bits a la entrada en I0B, I1B, I2B ó I3B.

Y en el caso del circuito integrado 74151, sólo se admite una sola palabra binaria de ocho bits a la entrada, y en un momento dado solo uno de los bits es canalizado hacia afuera (por la terminal de salida Z) dependiendo de los valores binarios que tenga la palabra selectora S2S1S0 .

Podemos interactuar con las distintas combinaciones posibles de este último circuito integrado a través del programa interactivo visual mantenido por la Universidad de Hamburgo en Alemania, a través del siguiente enlace (se requiere que la computadora esté habilitada con el programa accesorio Java):

http://tams-www.informatik.uni-hamburg.de/applets/hades/webdemos
_______/10-gates/40-mux-demux/SN74151.html

PROBLEMA: Para construír un circuito lógico de tres entradas A, B y C, que tenga la siguiente Tabla de Verdad:

en lugar de construírlo a partir de las tres funciones lógicas básicas se desea utilizar un circuito integrado Selector de Datos obtenible a bajo costo en el mercado, en el cual las líneas selectoras S₀_,S₁ y S₂ se utilizarán como las entradas A, B y C, y las líneas de datos se activarán de modo fijo con "unos" y "ceros". Resolver este problema usando:

1) Un Selector de Datos 1-de-8
2) Un Selector de Datos 1-de-4

1) Usando un selector de datos 1-de-8, la solución es directa:

Según se puede ver, al tomar la entrada ABC la condición "000", el primer valor en la lista "1" pasa a la salida. Al tomar ABC la condición "001", el segundo valor "1" en la lista pasa a la salida. Y así sucesivamente. Obsérvese que los valores sucesivos que deberá tener la salida siguiendo un conteo binario ascendente en las entradas selectoras fueron tomados directamente de la Tabla de Verdad.

2) Para llevar a cabo una simplificación con la cual podamos utilizar un Selector de Datos más sencillo que tenga únicamente dos entradas selectoras, agrupamos primero pares iguales sucesivos de B y C y comparamos la salida de cada par con los valores que debe tomar A a la entrada según la Tabla de Verdad:

Aquí la salida siempre será "1" independientemente del valor que tome la entrada A.

En este caso podemos ver que la salida es el complemento (el inverso lógico) de la entrada A.

En este caso, la salida siempre será "0" no importando el valor que tome A.

Aquí la salida tomará el mismo valor que tome la entrada A.

Tomando en cuenta lo anterior, usando un Selector de Datos 1-de-4 el diseño tomará el siguiente aspecto:

o más concretamente, en el diseño final:

Obsérvese lo sencillo y económico que resulta diseñar circuitos lógicos usando un Selector de Datos. El procedimiento empleado en el presente problema se puede extender a más variables sin dificultad alguna. Aunque un Selector de Datos 1-de-16 como el circuito integrado TTL 74150 es más caro que un Selector de Datos 1-de-4 como el circuito integrado TTL 74151, la diferencia en costo quizá no sea tanta para justificar irse al diseño más económico como lo hicimos en este caso simplificando el diseño de modo de requerir un Selector de Datos 1-de-4 en lugar de un Selector de Datos 1-de-8, tomando en cuenta que la lógica detrás del diseño simplificado será más difícil de leer para los técnicos que le darán mantenimiento a un equipo utilzando el diseño simplificado. Por otro lado, si se van a producir decenas de miles de equipos que serán puestos a la venta en el mercado, entonces una diferencia de precio de unos cuantos centavos entre un circuito integrado y otro puede traducirse en un ahorro significativo de varios miles de dólares.

PROBLEMA: La siguiente unidad, conocida comúnmente como como unidad demultiplex (DMUX) envía la información puesta a su entrada únicamente a uno de los cuatro canales de salida.

El canal deseado es seleccionado usando la palabra binaria A₁A₀ como selector. ¿Cuál es su configuración interna? Extender el diseño para una unidad demultiplex que pueda ser capaz de enviar su entrada a uno de ocho canales de salida.

La configuración interna es como la que se muestra a continuación:

La acción de "switcheo" requerida del bloque DMUX es esencialmente la siguiente:

Una forma de representar la configuración interna de la unidad DMUX en donde sigue existiendo la presencia interna de un "decodificador" de S₁S₀ aunque de una manera no tan obvia es la siguiente:

En esta representación, se sigue llevando a cabo una decodificación de la palabra binaria S₁S₀ convirtiéndola en una de cuatro líneas independientes para cada una de las cuatro combinaciones de "unos" y "ceros" puesta en S₁S₀, con el propósito de permitir el paso por solo uno de los cuatro bloques AND en un momento dado. Sin embargo, puesto dentro de una "caja negra", este circuito es enteramente equivalente al anteriormente mostrado. Este último diseño puede ser extendido para manejar ocho canales de salida con la adición de una terminal selectora adicional S₂ con la cual la palabra selectora será S₂S₁S₀, y la adición de cuatro bloques AND adicionales también de tres entradas cada uno (ampliar imagen):

Una forma de representar simbólicamente a una bloque demultiplex DMUX en los diagramas esquemáticos que conlleva la idea de lo que está realizando (una función opuesta a la función realizada por el bloque MUX) es de la siguiente manera:

PROBLEMA: Describir el funcionamiento conjunto de una unidad multiplex con una unidad demultiplex.

En la vida real, invariablemente cuando en un sistema se usa una unidad multiplexora MUX es porque irá apareada siempre con una unidad demultiplexora DMUX, y ambas deberán trabajar de modo conjunto a través del selector que actuará al mismo tiempo y en forma sincronizada sobre ambas unidades MUX y DMUX de la siguiente manera:

La razón obvia para tener que recurrir a una operación combinada MUX-DMUX es porque frecuentemente es necesario enviar (o recibir) información proveniente de diversos equipos cuando sólo hay un canal de comunicación disponible para la transmisión digital. Un ejemplo de esto lo serían varias computadoras conectadas desde un mismo lugar a Internet, compartiendo una sola línea telefónica. Como la información digital de varias computadoras no puede ser enviada al mismo tiempo por un solo canal de comunicación, el tiempo disponible del canal es "repartido" en partes iguales, dándole un tiempo breve a la computadora # 1, tras lo cual se le dá un tiempo breve a la computadora # 2, y así sucesivamente, tras lo cual vuelve a comenzar una nueva ronda dándosele un tiempo breve a la computadora # 1 seguida por la computadora # 2, y así sucesivamente.

Desde el punto de vista de la unidad multiplexora MUX, la información irá saliendo de una manera como se muestra a continuación:

Esquemáticamente, en este circuito lo primero en salir, lo primero en ser puesto en la única línea disponible para la transmisión externa de los datos, es el primer dato "A" representado por un triángulo rojo en el extremo superior izquierdo, el primer dato en el primer canal de comunicación. Tras esto, se envía a través de la línea el segundo dato "B" representado por el primer paralelogramo verde tomado del segundo canal de comunicación , el primer dato en el segundo canal de comunicación. A esto le sigue el dato "C" tomado del tercer canal de comunicación identificado con un círculo azul. Por último, se envía un dato "D" tomado del cuarto canal de comunicación, representado con un rombo color magenta, tras lo cual el ciclo empieza de nuevo. Obsérvese cómo marchan "aparentemente" revueltos los datos a través de la única línea disponible para la transmisión externa de datos. Para obtener algún sentido de los datos que están siendo enviados, el receptor tiene que estar forzosamente sincronizado con el envío de los datos. Es por ello que los selectores del MUX y del DMUX tienen que estar conectados de alguna manera, para ir ruteando (routing) la información por los canales adecuados sin que haya posibilidad de que termine revuelta.

La acción sincronizada selectora MUX-DMUX se muestra bosquejada en el siguiente archivo GIF (ampliar imagen para poder ver la acción animada):

PROBLEMA: La Tabla de Verdad de un circuito electrónico muestra los siguientes valores de voltaje, tanto para las entradas A y B como para la salida producida. ¿Qué función desempeña el circuito en lógica positiva? ¿Qué función desempeña en lógica negativa?

Usando lógica positiva, asignamos al voltaje más pequeño (o más cerca de cero volts, o el más negativo) el valor de "0" y al voltaje mayor (en este caso 3.2 volts) el valor de "1":

Esta es una función NOR.

Usando lógica negativa, asignamos al voltaje mayor el valor de "0" y al voltaje más pequeño el valor de "1", o sea lo contrario que lo que hicimos anteriormente:

Esta es una función NAND.

PROBLEMA: El circuito mostrado a continuación recibe el nombre de "compuerta" en un sentido diferente al que frecuentemente se les dá a los bloques lógicos AND, OR y NOT. ¿Qué acción se lleva a cabo de acuerdo con el valor que tome la terminal T?

Dada la acción de las funciones AND, cuando la terminal T toma el valor "0", la salida de la compuerta es "000000". Cuando la terminal T toma el valor "1", la salida de la compuerta es A₆A₇A₅A₄A₃A₂A₁. Esto es, la terminal T está actuando como un gatillo que detiene o permite el paso de la información según el valor que adquiera. Supóngase que

A₆A₇A₅A₄A₃A₂A₁ = 100110

Entonces tendríamos los siguientes casos:

PROBLEMA: Analizar el siguiente circuito construyendo una Tabla de Verdad para el mismo.

En el análisis de este tipo de circuitos, resulta conveniente buscar aquellas combinaciones de entradas que siempre produzcan un resultado consistente independientemente de los valores que tomen las demás entradas. Para ir "llenando" nuestra Tabla de Verdad inicialmente en blanco, podemos llenar toda la columna que corresponde a los valores de la salida I dándonos cuenta de que esta salida está conectada directamente a la entrada D, de modo tal que cuando la entrada D sea "0" la salida E será también "0" y cuando la entrada D sea "1" la salida E será también "1". Del mismo modo, podemos ver que la acción del AND de tres entradas que proporciona la salida F solo producirá un "1" a la salida de F cuando tenemos ABC=100 tanto para D=0 como para D=1, lo cual nos permite llenar toda la columna correspondiente a la salida F de inmediato con "unos" y el resto con "ceros". Asimismo, cuando la entrada A tiene el valor de "1", abriendo con ello la compuerta que representa el AND que proporciona la salida E, basta con que cualquiera de las entradas B ó C tengan el valor de "1" para que la salida E tenga también un "1", y solo cuando ambas entradas tengan un valor de "0" la salida será "0". Puesto de otra manera, todas las combinaciones para las cuales A=1 y B=1 "encienden" la salida E, y todas las combinaciones para las cuales A=1 y C=1 también "encienden" la salida E. Cuando ambas entradas B y C sean "0" la salida E siempre será "0". En lo que respecta a la salida G, esta requiere que la entrada B sea "1" y que además A sea "0" o que C sea "1" para que la salida G se "encienda" con un "1". Y en lo que respecta a la salida H, esta será "1" únicamente cuando las entradas A y C tengan el valor AC=01 (por la acción del primer AND que alimenta al OR de la salida I) o cuando las entradas A, B y C tengan el valor ABC=110 (por la acción del segundo AND que alimenta al OR de la salida I), siendo "0" en todos los demás casos. Así podemos ir llenando una Tabla de Verdad sin necesidad de tener que ir considerando individualmente cada combinación posible de "unos" y "ceros" a la entrada, con lo cual eventualmente podemos tener la siguiente Tabla de Verdad terminada:

Comparando la entrada ABCD al circuito (tomando las entradas juntas como una palabra binaria) con la salida EFGHI, observamos una cosa muy interesante: la salida del circuito es idéntica a la entrada desde ABCD=0000 hasta ABCD=1001 (lo cual es un conteo binario ascendente), tras lo cual desde ABCD=1010 en adelante la salida empieza a "contar" nuevamente en forma binaria ascendente partiendo otra vez desde "cero". Puesto de otra manera, la salida nos está dando el número binario puesto a la entrada convertido a su equivalente en sistema BCD. Si conectáramos la palabra FGHI a una carátula decimal numérica (usando un decodificador como el descrito en un problema anterior), estaríamos leyendo en nuestro sistema decimal el equivalente del número binario puesto a la entrada. La salida E cuando se "enciende" con un "1" es la que se utiliza para indicar que estamos en un nuevo conteo decimal, y se podría utilizar también para "encender" un segundo indicador luminoso correspondiente a las decenas de nuestro sistema decimal.Este circuito es un ejemplo de lo que se conoce como un traductor, en este caso un traductor de binario a BCD.

PROBLEMA: A continuación se presenta el diagrama esquemático de una punta de prueba lógica de construcción económica que puede ser utilizada para confirmar la presencia de un "0" o de un "1" en un punto cualquiera de un circuito lógico. Explicar el funcionamiento de la misma.

Aunque el diagrama indica que la punta de prueba lógica debe ser alimentada con una fuente de voltaje de +12 volts, en realidad no se requiere una fuente de poder externa independiente, ya que la práctica usual es alimentar estas puntas de prueba tomando energía eléctrica del mismo circuito que está siendo analizado.

La información de entrada a la punta de prueba se encuentra en la punta denominada probe, en la cual se puede poner un "0" o un "1" según la condición lógica del punto que está siendo medido. Esta información será puesta a la entrada de un NOR en la terminal # 1 del circuito integrado (IC1a) 4001 que está siendo utilizado para la entrada. Puesto que la otra terminal # 2 del circuito integrado está colocada en el nivel de cero volts, lo cual es un "0" lógico, lo único que cambiará la salida del NOR será el valor puesto en su terminal # 1. Si en la punta "probe" hay un "0" entonces la salida del NOR en su terminal # 3 será "1", y si en la punta "probe" hay un "1" la salida del NOR será "0".

La terminal de salida # 3 del bloque NOR alimenta una de las terminales de entrada del otro bloque NOR (IC1b), en el cual puesto que su otra entrada está conectada a 0 volts está siendo utilizado simplemente como un inversor lógico de la señal enviada por el NOR que le precede.

Siguiendo la ruta de valores binarios, si el valor en "probe" es "0", la salida del NOR a la derecha será también un "0", lo cual equivale a poner el punto intermedio entre las resistencias eléctricas a cero volts. Esto hace que la corriente eléctrica fluya de la fuente de poder a través del diodo emisor de luz verde LED1 (LO) continuando hacia la terminal de entrada # 4 del bloque NOR (el "0" a la salida del NOR posibilita que la corriente eléctrica pueda fluír hacia adentro del NOR, ya que la corriente eléctrica siempre fluye del polo positivo ó "1" al polo negativo ó "0") en vez de fluír a través del diodo emisor de luz LED2 rojo que permanecerá apagado. La corriente eléctrica estará limitada por la presencia de la resistencia superior de 680 ohms cuyo valor es justo lo que se requiere para que el LED del diseño pueda iluminarse adecuadamente. En esencia, con un "0" a la entrada de "probe", se encenderá el LED verde indicando una condición lógica de "0" ó LO (bajo).

La situación cambia cuando en "probe" está puesto un "1", lo cual hace que también en la terminal # 4 del NOR derecho haya un "1" que podemos tomar como esencialmente igual al voltaje de +12 volts. Puesto que ambos extremos del diodo emisor de luz verde LED1 están ahora al mismo potencial eléctrico de +12 volts, no puede fluír corriente alguna a través del LED verde, el cual estará apagado. En cambio, este "1" estará poniendo un voltaje de +12 volts al diodo emisor de luz rojo LED2, el cual al estar conectado del otro lado al potencial de cero volts tendrá una diferencia de voltaje de 12 volts aplicada entre sus dos terminales, lo cual hará que el LED2 conduzca con la corriente eléctrica limitada por la resistencia de 680 ohms justo a lo que se requiere para que el LED pueda iluminarse adecuadamente. En esencia, con un "1" a la entrada de "probe", se encenderá el LED rojo indicando una condición lógica de "1" ó HI (alto) en el punto que está siendo medido.

3: El álgebra Boleana

2007-11-19T22:40:00.000-08:00

Existe una forma sencilla y eficaz de analizar el comportamiento de los circuitos lógicos conocida como el álgebra Boleana, en honor de su creador el matemático inglés George Boole (1815-1864). En rigor de verdad, cuando George Boole creó el álgebra Boleana, no lo hizo precisamente con circuitos lógicos digitales en mente, ya que en su época no sólo no se habían inventado los circuitos integrados ni los transistores, ni siquiera existían los costosos bulbos electrónicos que posibilitaron el desarrollo de la radio. Fue un ingeniero de nuestros tiempos, Claude Shannon (1916-2001), a quien se le ocurrió la idea de que los principios del álgebra Boleana que había aprendido en sus estudios universitarios eran muy similares a los de los circuitos eléctricos que estaba estudiando. De hecho la hemos estado utilizando desde que se introdujeron las tres funciones lógicas básicas. Las funciones OR, AND y NOT son expresiones tomadas directamente de la lógica simbólica. Lo que haremos aquí es formalizar estos conceptos usando símbolos para representar las palabras binarias.

El álgebra Boleana consiste en utilizar literales en lugar de combinaciones de "unos" y "ceros" para el análisis de los circuitos lógicos. Empezaremos por considerar la función NOT junto con su Tabla de Verdad:

Aquí hemos prescindido temporalmente del triángulo porque en los diagramas de circuitos lógicos es la burbuja la que representa la inversión de la entrada. Obsérvese que la entrada es A y la salida es C, y la salida es llamada la negación de A (la inversión de su valor), con el efecto representado con una línea horizontal puesta sobre el símbolo A.

Puesto que la salida del NOT es siempre el inverso lógico de la entrada A, podemos representar la salida del NOT como:

Salida = A

con lo cual con la barra horizontal puesta encima queremos decir que la salida es el inverso o el complemento de la entrada. Esto se lee puede leer de diversas maneras tales como "el inverso de A", "el complemento de A", o "A negado", todas ellas equivalentes. En este libro, siempre y cuando ello ha sido posible, se ha hecho además otra cosa con fines didácticos: se ha escrito el símbolo de una variable invertida lógicamente con color azul. Además, por las dificultades tipográficas para poder representar símbolos con una barra horizontal puesta encima de ellos, en muchos libros y muchos monitores de computadora con ciertas combinaciones de sistemas operativos y navegadores de Internet se hace preferible o inclusive mandatorio recurrir a otro tipo de representación por medio del apóstrofe ('). Bajo esta representación, algo que tiene puesto un apóstrofe inmediatamente a su derecha se debe tomar como una variable invertida en el sentido Boleano. Si el apóstrofe está puesto inmediatamente a la derecha de una expresión entre paréntesis, entonces toda la expresión entre paréntesis se debe considerar negada lógicamente. Todo esto quiere decir que en este libro las siguientes expresiones deben tomarse como completamente equivalentes:

A = A'

A + B = (A + B)'

A • B = (A • B)'

ā = (a')'

Siempre y cuando sea posible o conveniente, cuando se escriban variables negadas se utilizarán ambos sistemas de notación para que el lector se vaya acostumbrando al uso de los dos sistemas tipográficos.

Consideremos ahora la función OR junto con su Tabla de Verdad:

Obsérvese en la Tabla de Verdad cómo la salida del OR asemeja la suma de los valores a sus entradas. Por ejemplo, en el primer renglón tenemos que cero (0) más cero (0) es igual a cero (0). En el segundo renglón tenemos que cero (0) más uno (1) es igual a uno (1), y en el tercer renglón también tenemos que uno (1) más cero (0) es igual a uno (1). Guiados por esta observación, podemos postular que la salida del OR será igual a algo que llamamos la suma lógica de los valores a sus entradas, o sea:

Salida = A + B

Tal vez el lector ya se haya dado cuenta de que, según lo que podemos ver en el cuarto renglón de la Tabla de Verdad, uno (1) más uno (1) es igual a uno (1), o sea:

1 + 1 = 1

Esta relación puede dejar perplejos a muchos a primera vista. Es aquí cuando se le advierte al lector que una cosa es la suma lógica de dos variables llevada a cabo con un bloque OR, y otra cosa muy diferente es la suma binaria de dos variables. La suma lógica o suma Boleana de 1 y 1 es igual a 1, mientras que la suma binaria de 1 y 1 será igual (en el sistema de numeración binaria) a 10.

Sobre esto último debemos recordar que estamos manejando un álgebra diferente al álgebra clásica. Debemos, por lo tanto, adaptar nuestra mente a las estructuras matemáticas requeridas para el estudio de los circuitos lógicos, porque es el álgebra Boleana y no nuestra álgebra clásica el "álgebra" que entienden las máquinas en su mundo de "encendidos" o "unos" y "apagados" o "ceros". El descubrimiento de este hecho por Claude Shannon fue lo que posibilitó el manejo matemático adecuado de los circuitos lógicos, los cuales se llaman así porque son circuitos cuyo comportamiento es descrito con las leyes de la lógica simbólica (utilizadas originalmente para el estudio de los pensamientos humanos en cuanto tales sin ninguna referencia a circuitos eléctricos) asentadas por George Boole.

Pasamos a estudiar ahora la función AND con su Tabla de Verdad:

Obsérvese en la Tabla de Verdad cómo la salida C del bloque AND asemeja el producto de los valores a sus entradas A y B. Por ejemplo, en el primer renglón tenemos que cero (0) por cero (0) es igual a cero (0). En el segundo renglón tenemos que cero (0) por uno (1) sigue siendo igual a cero (0). En el tercer renglón también seguimos teniendo que uno (1) por cero (0) es igual a cero (0). Es en el cuarto renglón en donde tenemos que uno (1) por uno (1) es igual a uno (1). Guiados por esta observación, podemos asegurar que la salida del AND es igual al producto de los valores de las entradas, o sea:

Salida = A • B

En el álgebra Boleana, hay además una serie de teoremas relativamente fáciles de demostrar (esto se lleva a cabo en la sección de problemas resueltos), que son los siguientes:

(1) A + 1 = 1

(2) A • 1 = A

(3) A + 0 = 0

(4) A • 0 = 0

(5) A + A = A

(6) A • A = A

(7) ā = a

(8) A + A = 1

(9) A • A = 0

Usando los resultados anteriores, se puede analizar cualesquier circuito lógico y, muy a menudo, simplificarlo. Por ejemplo, supóngase que un circuito lógico tiene la siguiente salida:

AB + B + C + CD

El primer paso es factorizar los términos comunes como se muestra a continuación:

(A + 1) • B + C • (1 + D)

Usando el primer teorema de los dados arriba, esta expresión se reduce de inmediato a lo siguiente:

(1) • B + C • (1)

B + C

Se ve claramente que es más fácil y económico construír el circuito usando esta última expresión (sólo se requiere un OR de dos entradas) que usando la expresión original con la cual se requieren dos bloques AND y un OR de cuatro entradas.

Anteriormente, al carecer de los recursos del álgebra Boleana, la única manera de descubrir el comportamiento de un circuito lógico construído a partir de las tres funciones lógicas básicas era aplicar en las entradas todas las combinaciones posibles de "unos" y "ceros" y rastrear los cambios para cada una de estas combinaciones a lo largo del circuito obteniendo las salidas resultantes, y con ello construír una Tabla de Verdad. Y no había una forma obvia de poder simplificar el circuito reduciendo el número de componentes requeridos para su construcción. Pero ahora, con el recurso del álgebra Boleana en nuestras manos, en vez de rastrear a lo largo de un circuito lógico todas las combinaciones posibles de "unos" y "ceros" hasta llegar a la salida del circuito, podemos rastrear el efecto de los componentes sobre las variables simbólicas a la entrada, y sin necesidad de recurrir a los "unos" y "ceros" podemos incluso intentar llevar a cabo una simplificación del circuito que antes no estábamos posibilitados para hacer. A continuación tenemos un ejemplo de cómo podemos "rastrear" las entradas hasta llegar a la salida de un circuito lógico para obtener una expresión simbólica para su salida en función de las variables de entrada:

Podemos ver cómo en el AND que está en el extremo izquierdo del diagrama, las variables de entrada B y C son puestas en la salida del mismo como BC, y esto sirve como una de las entradas al NOR en la parte superior del diagrama, el cual suma (en el sentido Boleano) BC a la otra entrada A, llevando a cabo inmediatamente tras esto la inversión lógica para obtener la expresión A+BC a la salida de dicho NOR. Por otro lado, el NAND que está situado debajo de este NOR recibe como entrada a la señal que le llega de la terminal A junto con la señal que le llega de la terminal B procesada previamente por el inversor NOT, de modo tal que las dos entradas a este NAND son A y B. El NAND procesa estas dos entradas llevando a cabo primero el proceso de multiplicación (en el sentido Boleano) de estas entradas produciendo el término AB, el cual es invertido inmediatamente por la burbuja inversora del NAND convirtiéndose en el término mostrado en el diagrama. Continuando el rastreo de las variables simbólicas, llegamos hasta la expresión final de la salida Q, la cual ciertamente parece ser una expresión susceptible de ser simplificada mediante álgebra Boleana.

Un concepto importante en nuestro estudio es el concepto del minterm, el cual nos permite obtener la expresión de salida para un circuito a partir de su Tabla de Verdad.

Considérese un circuito cuya Tabla de Verdad sea la siguiente:

Concentremos nuestra atención en aquellas salidas que tengan el valor de 1. En este caso, son las salidas f₂ y f₃.

Por definición, un minterm correspondiente a la salida de un circuito es igual al producto de las literales A y B que representan las variables de entrada de modo tal que se produzca una salida de 1. En el segundo renglón de la Tabla de Verdad, puesto que A=0 hay que invertir A para que su producto con B=1 produzca una salida de 1. De este modo, vemos que el primer minterm es:

f₂ = A B___[ = A' B ]

Usando el mismo razonamiento, el segundo minterm será:

f₃ = A B_____[AB']

Recurrimos ahora a un teorema fundamental (la demostración no es difícil pero no se llevará a cabo en este libro para beneficio de quienes las demostraciones matemáticas no es su fuerte) que nos dice que la salida de un circuito lógico es igual a la suma de los minterms de su Tabla de Verdad.

Entonces, la salida del circuito en este caso será:

Salida = f₂ + f₃

Salida = A B + A B

Otro concepto importante es el concepto del maxterm.

Considérese un circuito lógico cuya Tabla de Verdad es la siguiente:

Concentramos ahora nuestra atención en aquellas salidas que son cero. En este caso, son las salidas f₂ y f₄ .

Por definición, un maxterm correspondiente a la salida de un circuito es igual a la suma de las literales A y B que representan las variables de entrada de modo tal que se produzca una salida de 0 (compárese con la definición del minterm). En el segundo renglón de la Tabla de Verdad, puesto que B=1, hay que invertir la variable B para que su suma con A=0 produzca una salida de 0. De este modo, vemos que el primer maxterm es:

f₂ = A + B

Usando el mismo razonamiento, el segundo maxterm será:

f₄ = A + B

Recurrimos ahora a otro teorema fundamental de la teoría de los circuitos lógicos que nos dice que la salida de un circuito lógico es igual al producto de los maxterms de su Tabla de Verdad.

La salida del circuito lógico en este caso será:

Salida = f₂ • f₄

Salida = ( A + B) • (A + B)

Podemos remover los paréntesis y simplificar esta expresión llevando a cabo las multiplicaciones requeridas en forma parecida a la forma en la cual estamos acostumbrados en el álgebra tradicional:

Salida = AA + AB + A B + B B

Según uno de los teoremas enunciados anteriormente:

A • A = 0

y aplicando otro de los teoremas se tiene que:

B • B = B

Tenemos entonces que la salida se reduce a:

Salida = AB + A B + B

Podemos factorizar los primeros dos términos como sigue:

Salida = (A + A)•B + B

Usando el teorema que nos dice que A + A = 1, la expresión se simplifica a:

Salida = B + B

Pero otro de los teoremas nos dice que cualquier variable lógica sumada a sí misma nos produce la misma variable (este teorema aplica por igual a todas las variables, así se trate de variables invertidas), o sea el teorema:

A + A = A

Entonces la expresión final se reduce simplemente a:

Salida = B

Entonces el circuito de dos entradas A y B representado por la última Tabla de Verdad lo único que hace es invertir la entrada B e ignorar la entrada A. Es, en esencia, simplemente un inversor conectado a la señal lógica B. Una nueva inspección a la Tabla de Verdad nos confirma esto que al principio no nos era tan obvio.

Podemos, por lo tanto, obtener la expresión de salida para cualesquier circuito lógico a partir de su Tabla de Verdad ya sea por medio de minterms o por medio de maxterms. La decisión de utilizar minterms o maxterms es meramente una cuestión de conveniencia. Por ejemplo, si la Tabla de Verdad para un circuito tiene menos minterms que maxterms, posiblemente usando minterms se llegue más rápidamente a una expresión final.

Por último, vamos a estudiar el concepto del diagrama de tiempos, el cual siempre se lee de izquierda a derecha.

Supóngase que con el transcurso del tiempo, un circuito lógico produce la siguiente salida en tiempos igualmente espaciados t_n:

En el transcurso del tiempo de t₁ a t₂, la salida es 1. En el transcurso del tiempo t₂ a t₃, la salida es 0. Podemos ver cómo en el transcurso del tiempo t₁ a t₃ se habrá formado la palabra:

En el transcurso del tiempo t₃ a t₄ la salida es 1. Y en el transcurso del tiempo t₄ a t₅ la salida también es 1. Vemos que en el transcurso del tiempo t₁ a t₅ se habrá formado la palabra:

1011

Así, desde el inicio del tiempo t₁ hasta el final del tiempo t₁₀ se habrá formado la palabra:

101101001

En general, dado un diagrama de tiempos podemos obtener a partir del mismo la palabra binaria que éste genera siempre y cuando estemos seguros del espaciamiento de tiempos entre un "bit" y el que le sigue. La división precisa del tiempo es crucial para poder fijar y distinguir en forma correcta los "unos" y los "ceros". En el caso que acabamos de ver, si la división del tiempo cronometrada en cierto sistema digital fuera el doble de lo que acabamos de ver, entonces en lugar de la palabra 1011 generada desde el comienzo de t₁ hasta el final de t₅ podríamos muy bien haber tenido la palabra 11001111. Y si fuera el triple, entonces la palabra debería haber sido 111000111111. Este detalle se vuelve mucho más importante cuando la palabra binaria que está siendo enviada o procesada es una palabra que consta de puros "unos" (como 11111111) o de puros "ceros" (como 00000000) porque en tal caso la misma palabra no nos proporciona absolutamente ninguna pista sobre cuántos "bits" la forman.

Así como podemos obtener de un diagrama de tiempos la palabra binaria mostrada por dicho diagrama, de la misma manera dada una palabra binaria podemos obtener a partir de la misma el diagrama de tiempos que la produce. Por ejemplo, el diagrama de tiempos de la palabra:

11011101

será como se muestra a continuación:

Con mucha frecuencia en el estudio y análisis de sistemas digitales, los diagramas de tiempo se presentan como diagramas de tiempos múltiples, sincronizados. Esto quiere decir que en lugar de un solo diagrama podemos tener dos, tres, o más diagramas, alineados uno encima del otro de tal modo que sus tiempos se correspondan mutuamente. A continuación tenemos un diagrama de tiempos múltiple de un circuito digital que posee cuatro salidas en lugar de una sola, designadas como Q₀, Q₁, Q₂ y Q₃:

Aunque a primera vista no lo parezca, el circuito que produce este diagrama de tiempos múltiple está llevando a cabo una labor muy importante. Podemos entender mejor lo que está sucediendo si acomodamos las salidas de modo tal que se forme la palabra binaria:

Q₃Q₂Q₁Q₀

Veamos ahora lo que va sucediendo conforme el tiempo va transcurriendo de izquierda a derecha, veamos las palabras binarias que se van formando empezando por la primera:

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 0000

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 0001

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 0010

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 0011

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 0100

∙ ∙ ∙

Posiblemente a estas alturas ya sea obvio lo que está realizando el circuito lógico que produce este diagrama de tiempos. Es un contador binario de conteo ascendente. Está contando hacia arriba en el lenguaje propio de las máquinas electrónicas, en el lenguaje binario de "unos" y "ceros".

El que sigue es un diagrama de tiempos múltiple producido por un contador binario de conteo descendente, o sea un contador binario que está contando hacia abajo, como si fuese una cuenta regresiva:

El lector observador se habrá dado cuenta ya de que el circuito lógico que produce este diagrama de tiempos tiene salidas complementadas: Q₀, Q₁, Q₂, y Q₃. De hecho, si comparamos este diagrama de tiempos con el anterior, no tardaremos en darnos cuenta de que podemos obtener un contador binario de conteo descendente (hacia abajo) de un contador binario de conteo ascendente (hacia arriba) con el solo hecho de conectar unos inversores NOT a las salidas Q₀, Q₁, Q₂ y Q₃ del contador binario de conteo ascendente.

A continuación, se muestran en acción animada varios diagramas de tiempos para varias de las funciones lógicas básicas que hemos estudiado hasta ahora (ampliar imagen para poder ver los efectos especiales de animación):

Veamos primero los diagramas de tiempos que corresponden al bloque AND que aparecen en el primer renglón en la columna de la izquierda. Al comenzar la animación, las dos entradas al bloque AND tienen un "0" lógico, con lo cual la salida del AND también tiene un valor de "0". Al transcurrir el tiempo, la entrada superior cambia de "0" a "1". Pero como se trata de un bloque AND que requiere que las dos entradas sean "1" para producir una salida de "1", el diagrama de tiempos que corresponde a la salida permanece en "0". Poco después, la entrada inferior también es puesta en "1", con lo cual ambas entradas ya son "1". Esto provoca que en el diagrama de tiempos la salida del AND cambie de inmediato a "1", y este cambio es confirmado al encenderse el diodo emisor de luz LED al ocurrir el cambio. Tras esto, al caer el valor en la entrada superior de "1" a "0", la salida del AND también se desploma nuevamente a "0", lo cual es confirmado por el diagrama de tiempos a la salida del AND y por el indicador luminoso.

En la misma columna, en el tercer renglón, tenemos un bloque OR, el cual dará una salida de "1" cuando cualquiera de las dos entradas sea "1". Siguiendo la acción en el diagrama de tiempos como lo hicimos en el caso del bloque AND, podemos verificar lo que nos están diciendo los diagramas de tiempos para el OR en su conjunto. En el segundo renglón de la misma columna tenemos un bloque NAND y en el cuarto renglón tenemos un bloque NOR con sus respectivos diagramas de tiempo.

Existe equipo de laboratorio, un poco caro por cierto, utilizado precisamente para obtener los diagramas de tiempos de circuitos como los que hemos estado estudiando, conocidos como analizadores lógicos, de los cuales tenemos uno a continuación:

En el siguiente diagrama de tiempos, tenemos ilustrado el comportamiento de un bloque NAND con tres terminales de entrada A, B y C, y una salida designada como Y:

La forma de leer este diagrama de tiempos es la siguiente, procediendo siempre de izquierda a derecha. Al principio, las tres entradas A, B y C tienen un valor lógico de 0, con lo cual la salida Y es 1. Al irnos moviendo de izquierda a derecha, vemos que la entrada A es llevada de 0 a 1, aunque esto no produce ningún efecto en la salida Y por tratarse de un NAND. Tras esto, y con la entrada A mantenida con un valor de 1, la entrada B es también llevada hasta un 1 lógico, pero de nueva cuenta, no sucede nada a la salida por tratarse de un NAND. Tras esto, la entrada C es también llevada hasta un 1 lógico, con lo cual las tres entradas del NAND tienen ya un valor de 1. Esto produce un transición en el valor de la salida Y de 1 a 0, lo cual está resaltado con la línea flechada. Por último, la entrada A es llevada nuevamente al valor de 0 que tenía originalmente, lo cual produce un cambio casi inmediato en la salida Y del NAND que lo lleva de 0 a 1. Esto concluye la lectura del diagrama de tiempos.

Obsérvese que en el último párrafo usamos la palabra casi.

Los diagramas de tiempos que se acaban de describir están modelados en base al diagrama de tiempos ideal, en el cual supuestamente una señal asciende instantáneamente de 0 a 1 ó desciende instantáneamente de 1 a 0, lo que requiere que un voltaje (digamos de +5 volts) suba instantáneamente a un valor desde cero volts hasta dicho valor de +5 volts sin retardo alguno de tiempo, o viceversa. En circuitos lógicos construídos con componentes reales tales como semiconductores, resistencias y capacitores, esto simple y sencillamente no es posible, porque por principio de cuentas ninguna señal se puede propagar a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, y mucho antes de llegar a ese límite entran en acción otros fenómenos que imponen restricciones en cuanto a la rapidez con la cual se puede llevar a cabo una transición de 0 a 1 ó de 1 a 0. Los siguientes dos diagramas de tiempo muestran lo que sucede con una señal real, además de mostrarnos una diferencia muy común en la representación de los dos principales tipos de señales: (a) una señal que representa un pulso, y (b) una señal que representa un dato binario:

En el primer diagrama (a), tenemos el diagrama de un pulso real, el cual no sube instantáneamente de un valor de "0" lógico (que en la escala vertical a la izquierda vendría representando un voltaje de cero volts) hasta un valor de "1" lógico (que en la escala vertical a la izquierda vendría representando un voltaje de algo así como +3 volts o +5 volts dependiendo del tipo de componentes usados en el circuito). La señal tarda en subir desde "0" hasta "1" un tiempo T_r conocido usualmente en la literatura técnica como el tiempo de ascenso (rise time). Y cuando la señal desciende nuevamente de "1" a "0", la señal tarda un tiempo T_f en caer conocido en la literatura técnica como el tiempo de caída (fall time). Una señal como la que se muestra en este diagrama, si es repetitiva, repitiéndose en forma idéntica una y otra vez, podría representar algo así como los pulsos de una señal de reloj utilizada para poner en marcha unos circuitos lógicos conocidos como circuitos secuenciales que serán estudiados en capítulos posteriores de este libro. En tal caso, el intervalo de tiempo entre un pulso y el que le sigue es conocido como el período de tiempo T de la señal de reloj, con una duración desde t₁ hasta t₃. La recíproca f del período T, o sea f=1/T, es la frecuencia de la señal. Cualquiera que haya comprado alguna vez una computadora personal de escritorio desembolsando dinero de su propio bolsillo tal vez sin darse cuenta ya está familiarizado con este concepto, porque esta es precisamente la rapidez con la cual puede trabajar la computadora, y como es bien sabido las computadoras más rápidas (y las más apetecidas) son precisamente las de mayor precio. De este modo, cuando hablamos de una computadora de 500 MHz, estamos hablando realmente de una computadora con una velocidad, o mejor dicho, con una frecuencia de los pulsos de su reloj maestro interno, de 500 millones de ciclos por segundo. Y si la velocidad es de 2 GHz, el reloj maestro interno de la computadora estará ciclando a una frecuencia de 2 millones de ciclos por segundo.

En el segundo diagrama (b), tenemos un diagrama de tiempos para la representación de una señal binaria que puede causar cierta confusión en los neófitos que no están acostumbrados a leerla, porque tenemos dos datos sobrepuestos uno encima del otro. Este diagrama puede interpretarse como una sola señal con dos alternativas posibles en donde la línea roja representa la alternativa de que la señal vaya de "0" a "1" en un tiempo de ascenso t_r, y en donde la línea azul representa alternativa de que la señal esté yendo de "1" a "0" y en cuyo caso estamos hablando de un tiempo de caída t_f. De este modo, la línea roja representa una señal que asciende brevemente de "0" a "1" y tras esto vuelve a caer a "0", mientras que la línea azul representa una señal que cae brevemente de "1" a "0" y tras esto vuelve a subir nuevamente de "0" a "1". Estos son los dos comportamientos posibles y aceptables que puede tener la señal binaria mixta mostrada por el diagrama. Sin embargo, esta señal binaria mixta también tiene otro tipo de interpretación en la cual no la interpretamos como una sola señal sino como varias señales que están siendo enviadas simultáneamente. Bajo este modo de interpretación, un diagrama de tiempo con dos líneas "cruzadas" en el cual al inicio de un ciclo de operación una de ellas va de "0" a "1" mientras que la otra va de "1" a "0", volviendo ambas señales a sus valores originales al finalizar el ciclo, en realidad está representando no una sola línea sino varias líneas paralelas que llevan información en forma simultánea (como el domicilio A₆A₅A₄A₃A₂A₁A₀), algunas de las cuales pueden tener un valor lógico de "0" y otras de las cuales pueden tener un valor lógico de "1" al mismo tiempo.

Como otro ejemplo del diagrama de tiempos mixtos como el que acabamos de ver, es posible que el lector se encuentre en la literatura técnica algo como lo siguiente:

Un diagrama de tiempos de este tipo es una cosa que encontraríamos al estar estudiando algo así como los microprocesadores (hay más detalles sobre esto en el Suplemento # 2 de este libro, titulado El Microprocesador). Este diagrama de tiempos nos dice que se están generando una serie de pulsos de reloj (desde una terminal llamada clock), y que tras un primer pulso de reloj podemos colocar información binaria en un conjunto de terminales designadas domicilio (address). De nueva cuenta, la línea que se divide en dos puede parecer desconcertante. Sin embargo, no se trata de algún voltaje "intermedio" entre el "0" y el "1" (lo cual, dicho sea de paso, no está permitido dentro de la lógica binaria), lo que nos dice el diagrama es que en este tiempo válido (valid) con duración de dos pulsos de "reloj" (clock) podemos poner información que puede consistir tanto de "unos" (1) como de "ceros" (0) especificando un domicilio (address), tras lo cual podemos tomar o depositar a lo largo de cuatro ciclos de "reloj" datos paralelos en un conjunto de terminales designadas datos (data) que puede consistir tanto de "unos" como de "ceros".

Como se verá en la sección de problemas resueltos correspondientes a este capítulo, el álgebra Boleana es crucial para poder diseñar los circuitos digitales que se encargarán de llevar a cabo la suma binaria (no la suma Boleana) de dos números binarios distintos A y B. Los bloques fundamentales que servirán como punto de partida para esto son el Medio Sumador (Half Adder), el Sumador Completo (Full Adder), el Medio-Substractor (Half Subractor) y el Substractor Completo (Full Substractor). Estos bloques fundamentales nos permiten llevar a cabo operaciones aritméticas, y como los bloques básicos son idénticos, el uso de una cantidad mayor de bloques iguales nos permite aumentar enormemente la precisión numérica de la aritmética que podemos llevar a cabo, esa increíble precisión a la cual las computadoras digitales le deben su fama. Un detalle que había quedado pendiente desde que nos introducimos a la numeración binaria fue el problema de llevar a cabo operaciones aritméticas no sólo con números binarios positivos sino también con números binarios negativos, cuya discusión se había postpuesto hasta ahora porque en aquél capítulo introductorio no contábamos con las tres funciones lógicas básicas y mucho menos con el álgebra Boleana de la cual ya disponemos ahora para el diseño de circuitos lógicos, razón por la cual ha llegado el momento de retomar el tema.

En el primer capítulo de este libro, al introducir la numeración binaria, se describió una convención universal bajo la cual los números binarios negativos son distinguidos de los positivos con un "bit" puesto al principio del número binario, en donde el "0" representa un "+" y el "1" representa un "-". También se señaló allí que si se intenta sumar dos números binarios de signos distintos bajo esta convención el resultado aritmético será incorrecto. Para operaciones aritméticas binarias con signos distintos se acostumbra recurrir a una representación alterna basada en el uno-complemento (en inglés: one's complement ó 1's complement). Se trata de la representación conocida como el dos-complemento (en inglés: two's complement ó 2's complement).

Antes de entrar a fondo en la cuestión sobre la suma de números positivos y negativos en el sistema binario, trataremos aquí brevemente acerca de cómo trabaja un método conocido como el 9-complemento en el sistema decimal. Este método nos permite llevar a cabo la operación aritmética de resta (substracción) entre dos números, o lo que es lo mismo, la suma de un número positivo a un número negativo (el número que está siendo restado). En el sistema decimal, el 9-complemento de un número se obtiene reemplazando cada dígito del número por nueve menos el dígito. De este modo, el 9-complemento de 147 es 852 y el complemento de 605 es 394. Bajo la técnica del 9-complemento, para sumar 605 a -147 el procedimiento sería el siguiente:

Como puede verse, se obtiene primero el complemento del número cuyo signo sea negativo, se suman los números, y tras esto se suma el 1 previamente obtenido de la operación de "Llevar" a lo que tenemos, para así lograr el resultado final, que en este caso es +458. De este modo, la operación aritmética de la resta queda reducida a una operación de suma aritmética. En lugar de restar como lo haríamos en un cálculo hecho a mano, cambiamos 147 por su complemento procediendo a sumar. El sobreflujo es llevado a la columna de las "unidades" y sumado, obteniendo el resultado correcto de la operación. A continuación se llevará a cabo la misma operación, pero invirtiendo los signos:

Aquí también tomamos el complemento del número negativo. En este caso no hay sobreflujo, y el procedimiento final es algo diferente. La suma resultante del número positivo y el complemento del otro número es simplemente complementada, y al resultado se le asigna un número negativo.

La justificación del por qué este método siempre trabaja nos llevaría a una discusión sobre el tema de los anillos matemáticos y las clases de equivalencia, lo cual nos desviaría de nuestro objetivo central sin añadir más claridad a la técnica. Nos basta con saber que este método nunca falla porque tiene una justificación teórica sólida.

Así como en la numeración decimal se tiene al método del 9-complemento para poder sumar un número positivo y un número negativo, también en otros sistemas numéricos existe un procedimiento similar apoyado por las mismas razones matemáticas teóricas. En nuestro caso, estamos interesados en la aplicación de la técnica al sistema binario, al lenguaje de "unos" y "ceros" que es el que entienden las máquinas. Dicho esto, todo lo anterior mejor preparados para definir lo que es el "uno complemento" en el sistema binario. Esta representación tomamos simplemente el inverso lógico del número binario, o lo que es lo mismo, su complemento (de aquí deriva la designación). Así, el uno-complemento del número binario 00000010 (equivalente al número decimal 2) es 11111101.

Bajo la representación del "dos complemento", tomamos primero el 1-complemento del número en la forma que ya se señaló, simplemente invirtiéndolo lógicamente. Tras esto, se le suma 1. Esto resulta en la codificación del número en 2-complemento. Es importante recalcar que al tomar un número positivo el procedimiento de representarlo como 2-complemento lo convierte automáticamente en un número negativo.

Veamos a continuación un ejemplo de cómo podemos obtener la representación del número -9 bajo el esquema del 2-complemento usando una palabra binaria de cuatro "bits" (un nibble) con el primer bit reservado para el signo del número y los tres bits restantes reservados para la magnitud del número. Empezamos con el equivalente binario del número decimal "9", que es "01001". Le aplicamos ahora el proceso de inversión lógica para obtener el 1-complemento, que es "10110". Por último le sumamos 1 y obtenemos "10111". Este es el equivalente, en 2-complemento, del número negativo -9.

Dado un número en 2-complemento, podemos convertirlo a su forma negativa decimal sumando las "potencias de 2" de los bits "1", pero dándole un "peso" negativo al bit (del signo) más significativo que va a la izquierda. Por ejemplo:

11111011₂ = - 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1

11111011₂ = - 5

o por ejemplo:

10001010₂ = -128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0

10001010₂ =10001010 = -118

Para que estas conversiones queden claras, recurriremos a otro ejemplo sencillo convirtiendo primero el número 13 en base decimal a su negativo usando su representación como 2-complemento, y después tomando este resultado obtendremos el número negativo expresado en sistema decimal. El número 13 en formato binario es 00001101. Si invertimos los bits obtenemos como 1-complemento 11110010. Ahora le sumamos 1, y obtenemos el 2-complemento 11110011. Podemos checar la respuesta convirtiendo este número 2-complemento a su equivalente decimal:

11110011 = -128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1

11110011 = -13

Cabe notar que el 2-complemento de cero es cero: invirtiéndolo primero nos dá una cadena de "unos", y al sumarle "1" esto cambia todos los "unos" nuevamente a ceros. Al hacer esta operación, el sobreflujo es simplemente ignorado.

A continuación tenemos una tabla que nos muestra el equivalente de varios enteros positivos y negativos decimales representados en la segunda columna bajo el esquema "signo magnitud" (el primer bit es usado para el signo y los tres bits restantes para la magnitud) y representados en la tercera columna bajo el esquema 2-complemento:

La misma información tal vez sea más fácil de visualizar y recordar con el siguiente "círculo binario":

Ahora llevaremos a cabo la suma de dos números de signos distintos, +2 y -3, bajo la representación del 2-complemento, usando una extensión de un byte (ocho bits). Puesto que el único número que lleva un signo negativo es el 3, tomamos el 3 cuyo equivalente binario (positivo) es 0011, lo invertimos lógicamente para obtener el 1-complemento, que es 1100, y le sumamos 1 con lo cual obtenemos en 2-complemento el número negativo -3, el cual podemos sumar directamente (¡en suma binaria, no suma Boleana!) al número positivo +2 para obtener "11111111", que es equivalente en 2-complemento del número -1 (en 8 bits).

El resultado de la operación aritmética está dado, como vemos, en 2-complemento, y es un número negativo. Obsérvese cómo en esta ocasión sí obtuvimos los resultados aritméticos correctos.

Para que el procedimiento quede claro, hagamos una segunda operación usando 5 bits, sumando los números +13 y -9. Al número 13, por ser positivo, lo dejamos tal cual; su equivalente binario es 01101. El número 9, por ser negativo, debe ser convertido a su representación como 2-complemento. El equivalente binario de 9 es 01001; su 1-complemento es 10110, y su 2-complemento es 10111. Si sumamos 01101 y 10110, obtenemos 00100, o sea +4, que es el resultado correcto de acuerdo a los signos originales, con la respuesta también teniendo el signo correcto.

Hay pues tres tipos de operaciones aritméticas involucrando signos: (1) la adición de dos números positivos, (2) la adición de un número positivo y uno negativo, o lo que es lo mismo, una operación de resta, y (3) la adición de tres números negativos; y el método del 2-complemento trabaja en los tres casos como lo resumen los siguientes tres ejemplos:

La ventaja de utilizar la representación del 2-complemento es que uno no se tiene que preocupar por el bit del signo al llevar a cabo operaciones aritméticas de suma y resta; el resultado final siempre será correcto independientemente de los signos de los números. El no tener que estar probando explícitamente el signo de los números binarios al llevar a cabo operaciones aritméticas puede resultar en una mejora substancial de velocidad cuando este tipo de operaciones son llevadas a cabo por circuitos lógicos.

Solo resta hacer una última advertencia con respecto al uso del símbolo "=" (igual) en el álgebra Boleana. Dicho símbolo nos dice que dos expresiones conectadas por él, por ejemplo:

son equivalentes en álgebra Boleana (ambas producen la misma Tabla de Verdad) pero no iguales en el concepto de uso común en el álgebra clásica.

Esto quiere decir que las siguientes operaciones válidas en el álgebra clásica:

son incorrectas en el álgebra Boleana. En efecto, dada una expresión en álgebra Boleana, podemos simplificarla usando los teoremas vistos anteriormente, relacionando cada nueva expresión con la anterior usando el símbolo de equivalencia "=". Sin embargo, las simplificaciones como la arriba mostrada carecen de todo sentido en el álgebra Boleana.